Über die Reduktion gewisser ausgearteter Systeme von partiellen Differentialgleichungen. (German) Zbl 0009.11102
Keywords:
differential equationsReferences:
| [1] | J. Hadamard, Sur les caractéristiques des systèmes aux dérivées partielles, Bull. de la soc. math. de France34 (1906), S. 48-52. · JFM 37.0374.04 |
| [2] | M. Janet, Les systèmes comprenant autant d’équations aux dérivées partielles que de fonctions inconnues. Caractéristiques ordinaires des systèmes anormaux. J. de math. pures et appliquées (9)8 (1929), S. 339-352. Dort wird auch weitere Literatur angegeben. · JFM 55.0874.02 |
| [3] | d. h. die linken Seiten von (2) sind lineare Funktionen vonx ?,x ?,y ?,y ?,z ?,z ? mit Koeffizienten, die nur vonx, y, z, ?, ? abhängen. |
| [4] | x usw. bedeutet die Ableitung vonx usw. nach der Bogenlänges der Anfangskurve. |
| [5] | Vgl. C. Burstin: Ein Beitrag zum Problem der Einbettung der Riemannschen Räume in euklidischen Räumen. Rec. math. Soc. math. Moscou88 (1931). Nr. 344, S. 74-85. |
| [6] | Diese letzte Bedingung ist eine Realitätsbedingung, die nur wegen des speziellen (quadratischen) Charakters der zugrunde liegenden Differentialgleichungen explizit formuliert werden kann. |
| [7] | Siehe z. B. T. Levi-Civita, ?Caratteristiche dei sistemi differenziali e propagazione ondosa.? Bologna, N. Zanichelli, 1931. · Zbl 0003.11404 |
| [8] | Über doppelt auftretende lateinische Indizes, wie hier überk, ist von 1 bis 3 zu summieren. |
| [9] | Insbesondere zeigen die so definierten Charakteristiken die übliche Invarianzeigenschaft. |
| [10] | Meines Wissens liegt allerdings ein Existenzbeweis, wie er hier benötigt wird, im nichtanalytischen Fall auch für ein System der Form (14) nicht explizit vor. Indessen läßt sich etwa die Methode von Hans Levy [Über das Anfangswertproblem bei einer hyperbolischen nichtlinearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen, Math. Annalen98 (1927), S. 179-191] zur Integration hyperbolischer Differentialgleichungen mühelos auf Systeme der Form (14) übertragen. |
| [11] | Über doppelt auftretende lateinische Indizes, wie hier überk, ist von 1 bis 3 zu summieren. |
| [12] | In diesem Ausdruck ist ausnahmsweisenicht überi zu summieren. |
| [13] | Man beachte jedoch Anm.? Das dort Gesagte gilt auch hier. · JFM 53.0473.15 · doi:10.1007/BF01451588 |
| [14] | Zum Begriff der äußeren Charakteristik vgl. K. Friedrichs und H. Lewy, Das Anfangswertproblem einer beliebigen hyperbolischen Differentialgleichung beliebiger Ordnung in zwei Variablen. Existenz, Eindeutigkeit und Abhängigkeitsgebiet, Math. Annalen99 (1928). · JFM 54.0520.01 |
| [15] | Siehe etwa L. P. Eisenhart, ?Riemannian Geometry?, S. 151, Formel (44. 1). |
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