Das Problem, alle Grupen von höchstens \(h\) ganzen linearen homogenen Substitutionen zu finden, die einer gegebenen endlichen Gruppe \({\mathfrak H}\) der Ordnung \(h\) ein- oder mehrstufig isomorph sind, bildet seit einigen Jahren den Gegenstand weitgehender, von Molien und Frobenius begonnener Untersuchungen über die Gruppenmatrix und die Gruppencharaktere von \({\mathfrak H}\). Verf. stellt sich in der vorliegenden Arbeit das Problem, das er völlig erledigt, alle Gruppen von höchstens \(h\) gebrochenen linearen Substitutionen zu finden, die einer endlichen Gruppe \({\mathfrak H}\) der Ordnung \(h\) ein- oder mehrstufig isomorph sind, oder, wie man sagen kann, alle Darstellungen der Gruppe \({\mathfrak H}\) durch gebrochene lineare Substitutionen zu bestimmen. Haben die \(h\) linearen Substitutionen von nicht verschwindender Determinante: \[ \begin{aligned} & \{A\}: \quad x_{\nu} = \frac {a_{\nu 1} y_1 + a_{\nu 2} y_2 + \cdots + a_{\nu n - 1} y_{n - 1} + a_{\nu n}}{a_{n1} y_1 + a_{n2} y_2 + \cdots + a_{nn - 1} y_{n - 1} + a_{nn}},\\ & \{B\}: \quad x_{\nu} = \frac {b_{\nu 1} y_1 + b_{\nu 2} y_2 + \cdots + b_{\nu n - 1} y_{n - 1} + b_{\nu n}}{b_{n1} y_1 + b_{n2} y_2 + \cdots + b_{nn - 1} y_{n - 1} + b_{nn}}, \end{aligned} \]
\[ (\nu = 1, 2, \dots, n - 1), \] die den \(h\) verschiedenen Elementen \(A, B, \dots\) der Gruppe \({\mathfrak H}\) zugeordnet sind, die Eigenschaft, daßfür je zwei Elemente \(A, B\) von \({\mathfrak H}\) die Gleichung \(\{A\}\{B\} = \{AB\}\) besteht, so bilden die \(h\) gebrochenen Substitutionen eine Darstellung von \({\mathfrak H}\). Sind \((A),(B),\dots\) die Matrizen \((a_{ik}), (b_{ik}), \dots\), so wird das Produkt \( (A) (B)\), abgesehen von einem konstanten Faktor, der auch gleich 1 sein kann, gleich der Matrix \((AB)\). Umgekehrt ist durch jedes System von Matrizen \((A), (B), \dots\) von nicht verschwindenden Determinanten, so daßfür je zwei Elemente \(A, B, \dots\) der Gruppe \((A)(B) = r_{A, B} (AB) \) ist und \(r_{A, B}\) ein System von \(h^2\) Konstanten bedeuten, eine Darstellung der Gruppe \({\mathfrak H}\) durch gebrochene lineare Substitutionen bestimmt. Jedes System von Matrizen mit den geschilderten Eigenschaften nennt Verf. eine Darstellung der Gruppe \({\mathfrak H}\) durch gebrochene lineare Substitutionen, und zwar eine zu dem Zahlensystem \(r_{A, B}\) gehörende. Damit zu einem System von \(h^2\) Zahlen \(r_{A, B}\) Darstellungen der Gruppe \({\mathfrak H}\) existieren, ist notwendig und hinreichend, daßzwischen den Zahlen \(r_{A, B}\) ein System von Gleichung: \[ r_{A, B} \cdot r_{AB,C} = r_{A,BC} \cdot r_{B,C} \quad (A, B, C = H_0, H_1, \dots, H_{h - 1}) \] besteht.
Zwei Darstellungen \((A), (B), \dots\) und \((A'), (B'), \dots \) werden als äquivalent (ähnlich) bezeichnet, wenn eine Matrix \(P\) von nicht verschwindender Determinante existiert, so daß: \[ (A') = P^{- 1}(A)P, \;(B') = P^{- 1} (B) P, \dots \] ist. Äquivalente Darstellungen gehören zu dem gleichen Zahlensystem. Eine Darstellung wird primitiv genannt, wenn keine äquivalente Darstellung der Form: \[ (A') = \left(\begin{matrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{matrix} \right), \quad (B') = \left( \begin{matrix} B_1 & 0 \\ 0 & B_2 \end{matrix} \right), \dots \] existiert und \(A_1, B_1, \dots\) Matrizen gleichen Grades sind. Die Terminologie schließt sich an Frobenius’ Arbeiten an. “Der Grad einer jeden primitiven Darstellung einer Gruppe \({\mathfrak H}\) durch (ganze oder gebrochene) lineare Substitutionen ist ein Divisor der Ordnung von \({\mathfrak H}\).” Unter dem Grade der Darstellung ist hierbei der Grad der Matrizen zu verstehen.
Um eine Gruppe \({\mathfrak H}\) durch gebrochene Substitutionen darzustellen, führt Verf. den Begriff der durch die Gruppe \({\mathfrak A}\) ergänzten Gruppe \({\mathfrak G}\) von \({\mathfrak H}\) ein. \({\mathfrak G}\) heißt eine durch die Gruppe \({germ A}\) ergänzte Gruppe von \({\mathfrak H}\), wofür Verf. sagt: \({\mathfrak G}\) ist eine Gruppe \(({\mathfrak A, H})\), falls \({\mathfrak G}\) eine aus invarianten Elementen bestehende Untergruppe \({\mathfrak A}\) besitzt und \({\mathfrak G/A}\) der Gruppe \({\mathfrak H}\) holoedrisch isomorph ist. Untersucht man die primitiven oder irreduziblen Darstellungen der umfassenderen Gruppe \({\mathfrak G}\) durch ganze lineare Substitutionen, so entspricht bei einer jeden beliebigen solchen Darstellung von \({\mathfrak G}\) jedem Element von \({\mathfrak A}\) eine Matrix, die untereinander und zwar einer Einheitswurzel gleiche Diagonalelemente und sonst Nullen enthält. Sei \({\mathfrak G = A} A' + {\mathfrak A} B' + {\mathfrak A} C' + \cdots \), wobei die Komplexe \({\mathfrak A} A', {\mathfrak A} B', {\mathfrak A} C'\) usw. den Elementen \(A, B, C, \dots \) der zu \({\mathfrak G/A}\) holoedrisch isomorphen Gruppe \({\mathfrak H}\) entsprechen. Die Matrizen \((A'), (B'), (C'), \dots \) , die den Elementen \(A', B', C', \dots \) von \({\mathfrak G} \) bei einer primitiven Darstellung von \( {\mathfrak G}\) durch ganze lineare Substitutionen entsprechen, bilden eine primitive Darstellung von \({\mathfrak H}\) durch gebrochene lineare Substitutionen.
Es läßt sich \({\mathfrak H}\) auch durch Gruppen \({\mathfrak A}\) so ergänzen, daß\({\mathfrak G}\) eine Gruppe \(({\mathfrak A, H})\) von der Art wird, daßjede primitive Darstellung von \({\mathfrak H} \) durch gebrochene lineare Substitutionen (oder eine ihr assoziierte Darstellung) wenigstens einer der durch \({\mathfrak G}\) gelieferten Darstellungen von \({\mathfrak H}\), die soeben besprochen wurden, äquivalent ist. Eine ergänzte Gruppe von \( {\mathfrak H} \) dieser Eigenschaft heißt eine hinreichend ergänzte Gruppe; eine hinreichend ergänzte Gruppe von möglichst kleiner Ordnung heißt eine Darstellungsgruppe von \({\mathfrak H}\). Es ist noch der eben verwandte Begriff der assoziierten Darstellungen von \({\mathfrak H}\) zu erklären. Zwei Darstellungen \( (A), (B), (C), \dots \) und \( (A_1), (B_1), (C_1), \dots \) von \({\mathfrak H}\), die denselben gebrochenen Substitutionen entsprechen, für die also \[ (A_1) = a (A), \quad (B_1) = b(B), \quad (C_1) = c(C),\dots \] ist, wobei \(a, b, c, \dots\) Konstanten sind, heißen assoziiert.
Zu einer Gruppe \( {\mathfrak H}\) kann es unter Umständen mehrere einander nicht isomorphe Darstellungsgruppen \({\mathfrak G = (A, H)} \) geben. Zu einer perfekten Gruppe \({\mathfrak H}\), d. h. einer solchen, die mit ihrer Kommutatorgruppe zusammenfällt, gibt es nur eine Darstellungsgruppe. Selbst wenn für \({\mathfrak H}\) mehrere Darstellungsgruppen \({\mathfrak G}\) existieren, sind die Abelschen Untergruppen \({\mathfrak A}\), für die \({\mathfrak G/A} \) mit \({\mathfrak H}\) isomorph ist, untereinander isomorph. Die so zu \({\mathfrak H}\) gehörige, eindeutig bestimmte Abelsche Gruppe \({\mathfrak A}\) nennt Verf. den Multiplikator von \({\mathfrak H}\). Eine jede Darstellungsgruppe \({\mathfrak G}\) von \({\mathfrak H}\) läßt sich folgendermaßen mit Hülfe des Multiplikators charakterisieren:
1. In \({\mathfrak G}\) gibt es eine aus invarianten Elementen bestehende Untergruppe \({\mathfrak A} \), so daß\({\mathfrak G/A}\) mit \({\mathfrak H}\) isomorph ist;
2. der Kommutator von \({\mathfrak G}\) umfaßt alle Elemente von \({\mathfrak A};\)
3. \({\mathfrak G}\) ist die Gruppe höchster Ordnung mit den Eigenschaften 1 und 2.
Eine Gruppe \({\mathfrak H}\), deren Multiplikator das Einheitselement ist, nennt Verf. eine abgeschlossene Gruppe, solche sind z. B. die Gruppen, deren Untergruppen von Primzahlpotenzordnung zyklisch sind. Für eine abgeschlossene Gruppe ist jede Darstellung durch gebrochene lineare Substitutionen durch eine solche durch ganze lineare Substitutionen ersetzbar. (Faktoren \(r_{A, B}\) gleich 1.) Verf. zeigt allgemein, wie man zu einer gegebenen Gruppe \({\mathfrak H}\) den Multiplikator und eine Darstellungsgruppe \({\mathfrak G}\) bestimmen kann. Ist diese gruppentheoretische Problem ausgeführt, so ist, um die vom Verf. gestellte Aufgabe völlig zu lösen, nach dem Voraufgehenden nur das Studium der primitiven Darstellungen von \({\mathfrak G}\) durch ganze lineare Substitutionen, also eine bereits von Frobenius geleistete Aufgabe, erforderlich.