\(p\)-adic periods and explicit reciprocity laws. (Périodes \(p\)-adiques et lois de réciprocité explicites.) (French) Zbl 1011.11078
De l’introduction: Soit \(L\) un corps local de caractéristique 0, à corps résiduel de caractéristique \(p\). On note \(\overline{L}\) une clôture algébrique de \(L\) et on pose \(G_L= \text{Gal} (\overline{L}/L)\). Soit \(\mu_{p^n}\) le groupe des racines de l’unité d’ordre divisible par \(p^n\). Si \(L\) contient \(\mu_{p^n}\), on définit le symbole de Hilbert comme étant l’accouplement
\[
(\;,\;)_{p^n}: L^*\times L^*\to \mu_{p^n},
\]
\[ (\alpha,\beta)_{p^n}= \left( \root{p^n}\of \beta\right)^{\rho_L(\alpha)} \left/ \root{p^n}\of \beta\right. , \] où \(\rho_L: L^*\to G_L^{ab}\) est l’application de réciprocité, normalisée par \(\rho_L(\alpha) |_{L_{nr}}= \text{Frob}_L^{v_L(\alpha)}\).
Théorème (S. Sen). Soient \(\alpha,\beta\in L^*\) et supposons que \(v_p(\beta-1)> \frac{2}{p-1}\). Alors on a \[ (\alpha,\beta)_{p^n}= \zeta_{p^n}^{\frac{1}{p^n} \text{Tr} \bigl(\frac{D\log(\alpha)} {D\log (\zeta_{p^n})} \log(\beta)\bigr)} , \] où Tr désigne la trace de \(L\) sur \(\mathbb{Q}_p\).
Remarquons aussi que R. F. Coleman [cf. S. Sen, J. Reine Angew. Math. 313, 1-26 (1980; Zbl 0411.12005)] a donné une formule complète pour le symbole dans les corps cyclotomiques. Cette formule implique la loi de S. Sen pour \(L= \mathbb{Q}_p (\zeta_{p^n})\).
Le but de cet article est de démontrer une généralisation des formules de S. Sen pour tous les groupes formels \(p\)-divisibles. Soit \(M_F\) le module de Dieudonné de la fibre spéciale de \(F\). On associe à \(F\) un module filtré \((D_F,D_F^1)\), où \(D_F= M_F\otimes K\) et où \(D_F^1\subset D_F\) s’identifie à l’espace des formes différentielles \(F\)-invariantes. On peut donner une interprétation élémentaire de \(D_F\): il s’identifie au quotient de l’espace des \(F\)-formes différentielles de seconde espèce par celui des formes exactes.
Choisissons une base \(\omega_1,\dots, \omega_h\) de \(D_F\) de sorte que \(\omega_1,\dots, \omega_d\) forment une base de \(D_F^1(O_K)\) et posons \(\lambda_{\omega_i}= \int_0^x \omega_i\). On voit que les séries \(\lambda_{\omega_1},\dots, \lambda_{\omega_d}\) sont des logarithmes de \(F\). Le group \(E_{F,n}\) est isomorphe à \((\mathbb{Z}/ p^n\mathbb{Z})^h\). Fixons une base \[ \xi_1= (\xi_1^{(1)},\dots, \xi_1^{(d)}),\dots, \xi_h= (\xi_h^{(1)},\dots, \xi_h^{(d)}) \] de \(E_{F,n}\) et posons \[ X_{ij}:=\lambda_{\omega_i}'(\xi_j) \frac{d\xi_j}{d\pi_L}= \sum_{k=1}^d \frac {\partial\lambda_{\omega_i}(\xi_j)} {\partial x_k} \frac {d\xi_j^{(k)}} {d\pi_L}. \] Posons \(X_{L,n}= (X_{ij})\). Nous obtenons le résultat suivant (cf. Théorème 2.5.1).
Théorème. Il existe une constante \(c(F,K)\) telle que, si \[ v_p(\beta)= \min\{v_p(\beta_1),\dots, v_p(\beta_d)\}> c(F,K), \] alors \[ (\alpha,\beta)_{F,n}= \sum_{i=1}^h \sum_{j=1}^d [\text{Tr} (X_{ij}D\log(\alpha) \lambda_{\omega_j}(\beta))] (\xi_i). \] Remarquons que \(c(F,K)\) ne dépend pas de \(n\). Si \(K\) est non ramifié, on peut prendre \(c(F,K)= \frac{4}{p-1}\).
La méthode de cet article est proche de celle de K. Kato [Lect. Notes Math. 1553, 50-163 (1993; Zbl 0815.11051)]. Au lieu de la cohomologie cristalline nous utilisons les constructions explicites des périodes \(p\)-adiques. On peut utiliser cette méthode pour traiter le cas des variétés abéliennes.
\[ (\alpha,\beta)_{p^n}= \left( \root{p^n}\of \beta\right)^{\rho_L(\alpha)} \left/ \root{p^n}\of \beta\right. , \] où \(\rho_L: L^*\to G_L^{ab}\) est l’application de réciprocité, normalisée par \(\rho_L(\alpha) |_{L_{nr}}= \text{Frob}_L^{v_L(\alpha)}\).
Théorème (S. Sen). Soient \(\alpha,\beta\in L^*\) et supposons que \(v_p(\beta-1)> \frac{2}{p-1}\). Alors on a \[ (\alpha,\beta)_{p^n}= \zeta_{p^n}^{\frac{1}{p^n} \text{Tr} \bigl(\frac{D\log(\alpha)} {D\log (\zeta_{p^n})} \log(\beta)\bigr)} , \] où Tr désigne la trace de \(L\) sur \(\mathbb{Q}_p\).
Remarquons aussi que R. F. Coleman [cf. S. Sen, J. Reine Angew. Math. 313, 1-26 (1980; Zbl 0411.12005)] a donné une formule complète pour le symbole dans les corps cyclotomiques. Cette formule implique la loi de S. Sen pour \(L= \mathbb{Q}_p (\zeta_{p^n})\).
Le but de cet article est de démontrer une généralisation des formules de S. Sen pour tous les groupes formels \(p\)-divisibles. Soit \(M_F\) le module de Dieudonné de la fibre spéciale de \(F\). On associe à \(F\) un module filtré \((D_F,D_F^1)\), où \(D_F= M_F\otimes K\) et où \(D_F^1\subset D_F\) s’identifie à l’espace des formes différentielles \(F\)-invariantes. On peut donner une interprétation élémentaire de \(D_F\): il s’identifie au quotient de l’espace des \(F\)-formes différentielles de seconde espèce par celui des formes exactes.
Choisissons une base \(\omega_1,\dots, \omega_h\) de \(D_F\) de sorte que \(\omega_1,\dots, \omega_d\) forment une base de \(D_F^1(O_K)\) et posons \(\lambda_{\omega_i}= \int_0^x \omega_i\). On voit que les séries \(\lambda_{\omega_1},\dots, \lambda_{\omega_d}\) sont des logarithmes de \(F\). Le group \(E_{F,n}\) est isomorphe à \((\mathbb{Z}/ p^n\mathbb{Z})^h\). Fixons une base \[ \xi_1= (\xi_1^{(1)},\dots, \xi_1^{(d)}),\dots, \xi_h= (\xi_h^{(1)},\dots, \xi_h^{(d)}) \] de \(E_{F,n}\) et posons \[ X_{ij}:=\lambda_{\omega_i}'(\xi_j) \frac{d\xi_j}{d\pi_L}= \sum_{k=1}^d \frac {\partial\lambda_{\omega_i}(\xi_j)} {\partial x_k} \frac {d\xi_j^{(k)}} {d\pi_L}. \] Posons \(X_{L,n}= (X_{ij})\). Nous obtenons le résultat suivant (cf. Théorème 2.5.1).
Théorème. Il existe une constante \(c(F,K)\) telle que, si \[ v_p(\beta)= \min\{v_p(\beta_1),\dots, v_p(\beta_d)\}> c(F,K), \] alors \[ (\alpha,\beta)_{F,n}= \sum_{i=1}^h \sum_{j=1}^d [\text{Tr} (X_{ij}D\log(\alpha) \lambda_{\omega_j}(\beta))] (\xi_i). \] Remarquons que \(c(F,K)\) ne dépend pas de \(n\). Si \(K\) est non ramifié, on peut prendre \(c(F,K)= \frac{4}{p-1}\).
La méthode de cet article est proche de celle de K. Kato [Lect. Notes Math. 1553, 50-163 (1993; Zbl 0815.11051)]. Au lieu de la cohomologie cristalline nous utilisons les constructions explicites des périodes \(p\)-adiques. On peut utiliser cette méthode pour traiter le cas des variétés abéliennes.
