Verf. untersucht, in welchem Umfang sich der bekannte Satz, daß die Nullstellen von Polynomen aus \({\mathbb{C}}[x]\) stetig von deren Koeffizienten abhängen, auf Polynome über topologischen Körpern oder allgemeiner über topologischen Integritätsbereichen \(R\) übertragen läßt. Zur Präzisierung der Problemstellung wird zunächst \(R[x]\) in natürlicher Weise topologisiert, und weiter werden auf dem System der abgeschlossenen Teilmengen von R quasi-uniforme Topologien \(\rho^+\) und \(\rho^-\) sowie die uniforme Topologie \(\rho^*\) als Supremum von \(\rho^+\) und \(\rho^-\) definiert. Die Fragestellung bezieht sich dann auf die Stetigkeit der Wurzelfunktion, nämlich der Abbildung \(Z\), die jedem Polynom die abgeschlossene Menge seiner Nullstellen in \(R\) zuordnet, bezüglich der Topologien \(\rho^+\), \(\rho^-\), \(\rho^*\). Ist \(Z\) auf ganz \(R[x]\) stetig, so wird R entsprechend ein \(W^+\)-, \(W^-\)- bzw. \(W^*\)-topologischer Ring genannt. Jeder \(W^+\)-topologische Integritätsbereich ist in seiner Vervollständigung algebraisch abgeschlossen, und im Fall eines lokal-beschränkten V-topologischen Integritätsbereichs gilt hiervon auch die Umkehrung. Nach detaillierten Resultaten, die insbesondere Zerfallseigenschaften und Vielfachheiten der Nullstellen einbeziehen, ergibt sich unter anderem, daß für jeden nicht-diskreten V-topologischen und separabel algebraisch abgeschlossenen Körper seine Vervollständigung ein V-topologischer algebraisch abgeschlossener \(W^*\)-topologischer Körper ist. Neben zahlreichen Beispielen und Gegenbeispielen wird aber auch gezeigt, daß es vollständige lokal-beschränkte \(W^+\)-topologische Körper gibt, die nicht V-topologisch sind.