Ein klassisches Resultat von Hilbert und Landau besagt, daß jede positiv definite Funktion aus \(\mathbb R(x,y)\) Summe von 4 Quadraten ist. In dieser Arbeit wird am Beispiel der Funktion \(f(x,y) = 1 + x^2(x^2 - 3)y^2+x^2y^4\) gezeigt, daß man nicht immer mit 3 Quadraten auskommen kann. Eine Transformation des Problems ergibt nämlich, daß eine Darstellung von \(f\) als Summe von 3 Quadraten in \(\mathbb R(x,y)\) nur dann möglich ist, wenn die elliptische Kurve
\[ C^{-1}:\quad - \eta^2 = \xi(\xi - x^2(x^2 - 3) - 2x) (\xi - x^2(x^2 - 3) + 2x)\] einen \(\mathbb R(x)\)-rationalen Punkt \((\xi,\eta)\) mit positiv definitem \(\xi\ne 0\) besitzt. Die Bestimmung aller \(\mathbb C(x)\)-rationalen Punkte auf \(C^{-1}\) nach der Theorie der elliptischen Kurven (Satz von Mordell-Weil usw.) ergibt jedoch die Nichtexistenz eines solchen Punktes. Das Beispiel hat gewisse Konsequenzen für die allgemeine Theorie der quadratischen Formen und der elliptischen Kurven über Funktionenkörpern. So ist das Hasse-Prinzip für quadratische Formen in \(\mathbb R(x,y)\) falsch, obwohl das schwache Hasse-Prinzip (für die Wittgruppe der quadratischen Formen) gilt. Die Tate-Shafarevich-Gruppe der elliptischen Kurve \(C\) über \(\mathbb C(x)\) ist dividierbar in Übereinstimmung mit einem allgemeinen Satz von I. R. Shafarevich [Tr. Mat. Inst. Steklova 64, 316–346 (1961; Zbl 0129.12804), engl. Übersetzung in Transl., Ser. 2, Am. Math. Soc. 37, 85–114 (1964; Zbl 0142.18401)].