On order in time. (English) JFM 62.0047.01
Verf. führt die Untersuchung einer Frage fort, die er bereits in seinem Buche “Our knowledge of the external world” (New ed., 1926; F. d. M. 52, 54 (JFM 52.0054.*)) behandelt und zu deren logistischer Behandlung ferner N. Wiener (Proc. Cambridge phil. Soc. 17 (1914), 441-449; F. d. M. 45, 1150 (JFM 45.1150.*)) Beiträge geliefert hat: Es handelt sich darum, mit den formalen Hilfsmitteln der “Principia mathematica” eine strenge Definition einiger auf die physikalische Zeitordnung bezüglicher Begriffe (“Augenblick” (Zeitpunkt), “früher als” u. a.) zu geben und die formalen Eigenschaften dieser Begriffe zu bestimmen.
Entsprechend seiner erkenntnistheoretischen Anschauung, daß Augenblicke – im Unterschied zu Ereignissen – nicht physische Gebilde, sondern logische Konstruktionen seien, sucht der Verf. Augenblicke als gewisse Klassen von Ereignissen zu definieren. Die formale Durchführung stützt sich auf eine (im System Undefinierte) Grundrelation \(P\), die Beziehung des vollständigen Vorausgehens zwischen Ereignissen. Von dieser wird folgendes vorausgesetzt: \(P\) ist irreflexiv und transitiv (also eine Reihe), und \(S | P\), wo \(S = \;\dot - \;P \;\dot - \;\breve P\) (\(S\) ist also die Relation der mindestens teilweisen zeitlichen überdeckung zweier Ereignisse, \(S | P\) die des früheren Beginnens), ist transitiv.
Es wird nun definiert: Die Dauer eines Ereignisses ist die Klasse aller sich teilweise mit ihm überdeckenden Ereignisse; ein Augenblick ist eine Ereignisklasse, die identisch ist mit dem Durchschnitt der Dauern ihrer Elemente; ein Augenblick heißt früher als ein anderer, wenn mindestens ein Element des ersten zu mindestens einem Element des zweiten in der Beziehung \(P\) steht.
Es wird dann bewiesen, daß die Relation “früher als” eine Reihe ist und daher mit Sinn zur Definition einer Zeitordnung verwandt werden kann; und es werden notwendige Bedingungen für die Dichtheit der Ordnung angegeben. Ferner werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür entwickelt, daß ein Ereignis einen ersten Augenblick besitzt, und hinreichende Bedingungen dafür, daß überhaupt Augenblicke in dem oben definierten Sinne existieren. Eine dieser hinreichenden Bedingungen ist die, daß \(P\) die Menge aller Ereignisse wohlordnet.
Entsprechend seiner erkenntnistheoretischen Anschauung, daß Augenblicke – im Unterschied zu Ereignissen – nicht physische Gebilde, sondern logische Konstruktionen seien, sucht der Verf. Augenblicke als gewisse Klassen von Ereignissen zu definieren. Die formale Durchführung stützt sich auf eine (im System Undefinierte) Grundrelation \(P\), die Beziehung des vollständigen Vorausgehens zwischen Ereignissen. Von dieser wird folgendes vorausgesetzt: \(P\) ist irreflexiv und transitiv (also eine Reihe), und \(S | P\), wo \(S = \;\dot - \;P \;\dot - \;\breve P\) (\(S\) ist also die Relation der mindestens teilweisen zeitlichen überdeckung zweier Ereignisse, \(S | P\) die des früheren Beginnens), ist transitiv.
Es wird nun definiert: Die Dauer eines Ereignisses ist die Klasse aller sich teilweise mit ihm überdeckenden Ereignisse; ein Augenblick ist eine Ereignisklasse, die identisch ist mit dem Durchschnitt der Dauern ihrer Elemente; ein Augenblick heißt früher als ein anderer, wenn mindestens ein Element des ersten zu mindestens einem Element des zweiten in der Beziehung \(P\) steht.
Es wird dann bewiesen, daß die Relation “früher als” eine Reihe ist und daher mit Sinn zur Definition einer Zeitordnung verwandt werden kann; und es werden notwendige Bedingungen für die Dichtheit der Ordnung angegeben. Ferner werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür entwickelt, daß ein Ereignis einen ersten Augenblick besitzt, und hinreichende Bedingungen dafür, daß überhaupt Augenblicke in dem oben definierten Sinne existieren. Eine dieser hinreichenden Bedingungen ist die, daß \(P\) die Menge aller Ereignisse wohlordnet.
Reviewer: Hempel, C. G., Dr. (Brüssel)
