Darstellende Geometrie im Kugelgebüsch. (German) JFM 57.0785.05
Die nichteuklidischen Geometrien des Raumes können nach Einführung einer entsprechenden Metrik in einem Kugelgebüsch versinnlicht werden (J. Wettstein). Dieser Gedanke wird zu einer konstruktiv durchgebildeten darstellenden Geometrie nichteuklidischer Räume ausgestaltet. Dabei werden der hyperbolische und elliptische Fall getrennt behandelt und die entsprechenden Grundkonstruktionen für die Ebene jedesmal vorangestellt.
Im hyperbolischen Raum wird eine Abbildung eingeführt, welche dem Grundund Aufrißverfahren nachgebildet ist. Als Bildebenen \(\varPi _{1,2}\) werden zwei zu einander senkrechte Durchmesserebenen der Grundkugel \(u\) des Kugelgebüsches gewählt, die sich in der \(x\)-Achse schneiden. Auf \(\varPi _{1,2}\) werden die \(h\)-Punkte durch \(h\)-Geraden normal projiziert. Nach der Umklappung von \(\varPi _1\) in \(\varPi _2\) liegen die Bilder der \(h\)-Punkte auf Ordnern, den \(h\)-Geraden senkrecht zur \(x\)-Achse; euklidisch gesprochen also auf Kreisen eines hyperbolischen Büschels. Es ergibt sich, daß die \(h\)-Drehkegel mit eigentlicher bzw. uneigentlicher \(h\)-Spitze Spindel- und Horn- bzw. Ringzykliden sind. Die Cliffordschen Flächen einer \(h\)-Geraden sind Spindelund Hornzykliden mit Knoten in den unendlich fernen Punkten der Geraden. Die Konstruktionen lassen sich vereinfachen, wenn man die Grundkugel in eine Ebene \(u\) ausarten läßt und \(\varPi _{1,2}\) senkrecht \(u\) wählt. Die \(h\)-Rißbildungen werden dann euklidische Zirkularprojektionen. So werden Aufgaben über Geraden und Ebenen einschließlich der Normalität konstruktiv durchgeführt.
Analog wird im elliptischen Fall vorgegangen. Die Ordner sind hier euklidische Kreise eines elliptischen Büschels. Die Cliffordschen Flächen eines Paars absoluter Polaren \(g\), \(g^0\) sind Ringzykliden mit den Achsen \(g\), \(g^0\). Die Cliffordschen Parallelen von \(g\), \(g^0\) sind die Loxodromenkreise dieser Zykliden. Eine Vereinfachung der Konstruktionen wird hier dadurch erreicht, daß man den \(e\)-Aufriß auf \(\varPi _2\) durch eine Projektion aus dem Mittelpunkt der nullteiligen Grundkugel auf deren reellen Vertreter \(u^r\) ersetzt. Die \(e\)-Umklappung von \(u^r\) in \(\varPi _1\), ist dann euklidisch eine stereographische Projektion von \(u^r\) auf \(\varPi _1\). Auch hier werden Lagen- und Maßaufgaben über Geraden und Ebenen konstruktiv durchgeführt. (V 1.)
Im hyperbolischen Raum wird eine Abbildung eingeführt, welche dem Grundund Aufrißverfahren nachgebildet ist. Als Bildebenen \(\varPi _{1,2}\) werden zwei zu einander senkrechte Durchmesserebenen der Grundkugel \(u\) des Kugelgebüsches gewählt, die sich in der \(x\)-Achse schneiden. Auf \(\varPi _{1,2}\) werden die \(h\)-Punkte durch \(h\)-Geraden normal projiziert. Nach der Umklappung von \(\varPi _1\) in \(\varPi _2\) liegen die Bilder der \(h\)-Punkte auf Ordnern, den \(h\)-Geraden senkrecht zur \(x\)-Achse; euklidisch gesprochen also auf Kreisen eines hyperbolischen Büschels. Es ergibt sich, daß die \(h\)-Drehkegel mit eigentlicher bzw. uneigentlicher \(h\)-Spitze Spindel- und Horn- bzw. Ringzykliden sind. Die Cliffordschen Flächen einer \(h\)-Geraden sind Spindelund Hornzykliden mit Knoten in den unendlich fernen Punkten der Geraden. Die Konstruktionen lassen sich vereinfachen, wenn man die Grundkugel in eine Ebene \(u\) ausarten läßt und \(\varPi _{1,2}\) senkrecht \(u\) wählt. Die \(h\)-Rißbildungen werden dann euklidische Zirkularprojektionen. So werden Aufgaben über Geraden und Ebenen einschließlich der Normalität konstruktiv durchgeführt.
Analog wird im elliptischen Fall vorgegangen. Die Ordner sind hier euklidische Kreise eines elliptischen Büschels. Die Cliffordschen Flächen eines Paars absoluter Polaren \(g\), \(g^0\) sind Ringzykliden mit den Achsen \(g\), \(g^0\). Die Cliffordschen Parallelen von \(g\), \(g^0\) sind die Loxodromenkreise dieser Zykliden. Eine Vereinfachung der Konstruktionen wird hier dadurch erreicht, daß man den \(e\)-Aufriß auf \(\varPi _2\) durch eine Projektion aus dem Mittelpunkt der nullteiligen Grundkugel auf deren reellen Vertreter \(u^r\) ersetzt. Die \(e\)-Umklappung von \(u^r\) in \(\varPi _1\), ist dann euklidisch eine stereographische Projektion von \(u^r\) auf \(\varPi _1\). Auch hier werden Lagen- und Maßaufgaben über Geraden und Ebenen konstruktiv durchgeführt. (V 1.)
Reviewer: Schmid, Wilhelm, Dr. (Brünn)
