Die quantenmechanische Statistik wird mit geometrischen Methoden allgemein diskutiert, wobei u. a. die statistischen Gesamtheiten von höchster Homogenität, also mit weitestgehend bekannten Eigenschaften, die “reinen Fälle”, auftreten. Die Bedeutung dieser Begriffe wird hervorgehoben.
Die mathematische Gleichwertigkeit der “Zustände” oder “reinen Fälle” der Quantenmechanik mit den “Strahlen” eines unitären Raumes führt auf eine gruppentheoretische Behandlung der Quantenmechanik, die es erlaubt, die Schrödingerschen Operatoren \(q\) \(\ldots\) und \(\dfrac{h}{2\pi i}\dfrac{\partial}{\partial q}\ldots\) für Koordinate und Impuls aus besonders einfachen gruppentheoretischen Begriffsbildungen herzuleiten.
Sodann wird eine Zuordnungsvorschrift von Matrizen zu beliebigen klassischen Größen (d. h. Funktionen der Koordinaten und Impulse) vorgeschlagen. (Da sie indessen gewisse wesentliche Anforderungen, die an eine solche Zuordnung zu stellen sind – z. B. die Definität der Matrix für wesentlich nichtnegative Größen u. ä. – verletzt, hat sie sich, trotz ihres einfachen und eleganten Baues, nicht durchsetzen können.)
Schließlich werden gewisse, bei der relativistischen Behandlung atomarer Systeme auftretende Operatoren berechnet bzw. auf Integraloperationen zurückgeführt.
(Zum Begriff des reinen Falls vgl. auch J. v. Neumann; Nachrichten Göttingen 1927, 245-272; F. d. M. 53, 849 (JFM 53.0849.*)).