Das Ziel dieser Arbeit ist, Bedingungen dafür anzugeben, wann eine Fläche als Ganzes mit einem Tschebyscheffschen Netz bedeckt werden kann. Verf. schickt zunächst einige Bemerkungen über geodätische Linien und geodätisch konvexe Bereiche auf Flächen negativer Gaußscher Krümmung voraus und zeigt dann, daß man zwei aufeinander senkrechte geodätische Linien so wählen kann, daß die vier von ihnen bestimmten Quadranten die gleiche curvatura integra besitzen. Diese beiden Linien werden als Anfangskurven eines Tschebyscheffschen Netzes in der Umgebung ihres Schnittpunktes vorgeschrieben, und dieses Netz läßt sich über die ganze Fläche ausdehnen. Auf diese Weise gelangt Verf. zu dem Ergebnis: Damit eine unberandete, im Endlichen singularitätenfreie Fläche \(F\) nirgends positiver Gaußscher Krümmung als Ganzes mit einem Tschebyscheffschen Netz bedeckt werden kann, ist hinreichend, daß \(F\) einfach zusammenhängend und offen sei, daß der Betrag der curvatura integra \({}< 2\pi\) sei und daß im Falle, wo die curvatura integra gleich \(- 2\pi\) ist, in keinem Teilbereich die Gaußsche Krümmung überall verschwinde; die notwendige Bedingung für die Bedeckbarkeit von \(F\) ist, daß \(F\) einfach zusammenhängend und offen sei und eine curvatura integra vom Betrage \({}\leqq 2\pi\) besitze.
Die Methode des Verf. führt auch in einigen anderen Fällen zum Ziel: Das Integral über den absoluten Betrag der Gaußschen Krümmung einer offenen, im Endlichen singularitätenfreien Fläche von einfachem Zusammenhang sei kleiner als \(\dfrac\pi2\). Dann kann die Fläche als Ganzes mit einem Tschebyscheff-Netz bedeckt werden.