Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. (German) JFM 48.0602.04
Es seien \(U_1(x), \dots, U_n(x)\) die Verteilungsfunktionen von \(u_1, \dots, u_n; U(x)\) sei die gleiche Funktion für \(u_1+\cdots +u_n; s(x)\) habe den Wert \(|x|^3\) für \(|x| \leqq 1\), \(x^2\) für \(|x| \geqq 1\). Es gelten die folgenden Sätze:
I. Man kann bei jedem \(\varepsilon > 0\) \[ \left|U(x) - \int_{-\infty}^x (2\pi)^{-\tfrac 12} e^{-\tfrac{t^2}{2}}\, dt\right| < \varepsilon \] erreichen, sobald nur \[ \sum_{\mu=1}^n \int_{-\infty}^\infty |x|^3 \, dU_\mu(x) < \eta = \eta(\varepsilon) \] ist; \(\eta\) kann zu \(\varepsilon\) stets effektiv gefunden werden.
II. Die Mittelwerte der \(u_\mu\) seien 0, ihre Absolutwerte kleiner als \(d_n\), ihre Streuungen \(\sigma_\mu\), \(\sum \sigma_\mu^2 = r_n^2\). Man hat \[ \left|U(x) - \int_{-\infty}^x (2\pi)^{-\tfrac 12} r_n^{-1} e^{-r_n^{-2}\tfrac{t^2}{2}}\, dt\right| < \varepsilon \] für \[ d_n < \eta r_n, \quad \eta = \eta(\varepsilon). \]
III. \(\qquad \qquad \left|U(x) - \int_{-\infty}^x (2\pi)^{-\tfrac 12} e^{-\tfrac{t^2}{2}}\, dt\right| < \varepsilon\)
für \[ \sum_{\mu=1}^n \int_{-\infty}^\infty s(x)\, dU_\mu(x)<\eta =\eta(\varepsilon). \]
I. Man kann bei jedem \(\varepsilon > 0\) \[ \left|U(x) - \int_{-\infty}^x (2\pi)^{-\tfrac 12} e^{-\tfrac{t^2}{2}}\, dt\right| < \varepsilon \] erreichen, sobald nur \[ \sum_{\mu=1}^n \int_{-\infty}^\infty |x|^3 \, dU_\mu(x) < \eta = \eta(\varepsilon) \] ist; \(\eta\) kann zu \(\varepsilon\) stets effektiv gefunden werden.
II. Die Mittelwerte der \(u_\mu\) seien 0, ihre Absolutwerte kleiner als \(d_n\), ihre Streuungen \(\sigma_\mu\), \(\sum \sigma_\mu^2 = r_n^2\). Man hat \[ \left|U(x) - \int_{-\infty}^x (2\pi)^{-\tfrac 12} r_n^{-1} e^{-r_n^{-2}\tfrac{t^2}{2}}\, dt\right| < \varepsilon \] für \[ d_n < \eta r_n, \quad \eta = \eta(\varepsilon). \]
III. \(\qquad \qquad \left|U(x) - \int_{-\infty}^x (2\pi)^{-\tfrac 12} e^{-\tfrac{t^2}{2}}\, dt\right| < \varepsilon\)
für \[ \sum_{\mu=1}^n \int_{-\infty}^\infty s(x)\, dU_\mu(x)<\eta =\eta(\varepsilon). \]
Reviewer: Müntz, Dr. (Berlin)
References:
| [1] | Annales Academiae Scientiarum Fennicae16 (1920), S. 1?23. |
| [2] | Fundamentalsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Zeitschrift4 (1919), (S. 1?97), S. 78. |
| [3] | Sur une proposition de la théorie des probabilités, Bulletin de l’Académie impériale des sciences de St. Pétersbourg13 (1900), S. 359?386. ? Nouvelle forme du théorème sur la limite de probabilité, Mémoires de l’Académie impériale des sciences de St. Pétersbourg12 (1902), S. 1?24. |
| [4] | Seite 3 der zweiten der soeben zitierten Arbeiten. |
| [5] | Wegen des Begriffes der Verteilungsfunktion verweise ich auf die schon zitierte Arbeit des Herrn v. Mises und die Fortsetzung derselben in Bd. 5. |
| [6] | Diese Funktion wächst im Intervalle (0, l) stetig von 0 bis 1. |
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