Es handelt sich um Beziehungen zwischen den Wurzeln der Gleichung und denen der Ableitung. Ist \(\mu_1\) bzw. \(\mu_2\) der Schwerpunkt der \(k\) ersten bzw. \(n-k\) letzten Wurzeln von \(f=0\) vom Grade \(n\), so gelten für die zwischen den Wurzeln \(a_k\) und \(a_{k+1}\) von \(f=0\) gelegene Wurzel von \(f'=0\) die Ungleichungen \(x- a_k\leqq k\frac{\mu_2-a_k}{n}\); \(a_{k+1}-x\leqq (n- k)\frac{a_{k+1}-\mu_1}{n}\). Ferner: Ist \(d_n\) die Länge des Intervalls zwischen der größten und kleinsten Wurzel von \(f=0\) vom Grade \(n\), und schneidet man aus diesem Intervalle von den Endpunkten aus je eine Strecke der Länge \(\frac{d_n}{2} \left( 1-\sqrt{\frac{n-2}{n}}\right)\) ab, so liegt wenigstens auf der einen Strecke eine Wurzel von \(f'=0\). Ferner in Verallgemeinerung eines Satzes von Laguerre: Teilt man den Abstand von solchen zwei Wurzeln der Gleichung, zwischen denen \(h-1\) andere Wurzeln liegen, in \(n\) gleiche Teile, so kann keine der beiden aus den \(h\) äußersten Teilintervallen bestehenden Strecken die sämtliche \(h\) Wurzeln von \(f'=0\) enthalten, die zwischen den angenommenen beiden Wurzeln von \(f=0\) liegen. Weiter wird gezeigt, daß zwischen den Längen \(d_k\) zwischen der größten und kleinsten Wurzel der \((n-k)\)-ten Ableitung die Ungleichungen \[ \frac{d_n}{d_k}\leqq \sqrt{\frac{(n-1)n}{(k-1)k}}< \frac{n-1}{k-1}\;(n>k\geqq 2) \] bestehen. Hieraus folgt für \(k=2\), wenn \(f(x)=a_0x^n+a_1x^{n- 1}+a_2x^{n-2}+\cdots\) ist: \(d_n< \sqrt 2 \sqrt{\left(\frac{a_1}{a_0}\right)^2- \frac{2a_2}{a_0}}\), und diese von \(n\) unabhängige obere Grenze ist genau.