Es wird zunächst das Verhalten der partiellen Ableitungen der durch das Poissonsche Integral definierten Funktion \[ u(r,\varphi)=\frac1{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}{\vphantom{\int}}^{+\pi} \frac{R^2-r^2}{R^2-2rR\cos(\vartheta-\varphi)+r^2}f(\vartheta)\,d\vartheta \] untersucht, in der \(r\), \(\varphi\) die Polarkoordinaten eines Punktes der Ebene, \(R\), \(\vartheta\) die eines Punktes auf dem Umfang des Kreises \(R\) sind, \(f\) eine nicht notwendig beschränkte, im Sinne von Lebesgue integrierbare Funktion. Hat \(f(\vartheta)\) außer vielleicht in einer Nullmenge (d. h. Menge vom Maße Null) eine nebst ihrem Quadrat integrierbare Ableitung, so konvergiert \(\dfrac{\partial u(r,\varphi)}{\partial r}\) bei der Annäherung an den Rand längs einer beliebigen die Peripherie nicht berührenden Kurve, außer höchstens in einer Nullmenge der Punkte \(R\), \(\vartheta_0\), gegen einen wohl bestimmten Grenzwert. Die Grenzfunktion ist nebst ihrem Quadrate integrierbar. Die Ausdrücke \[ (R-r)\dfrac{\partial u(r,\varphi)}{\partial \varphi} \text{ und } (R-r)\dfrac{\partial u(r,\varphi)}{\partial r} \] konvergieren, wenn \(f(\vartheta)\) integrierbar ist, mit \(R-r\) gegen Null, höchstens mit denselben Ausnahmen wie oben. Die zweiten partiellen Ableitungen von \(u\) streben im allgemeinen keinen bestimmten Grenzwerten zu oder werden unendlich groß. Indessen ist \[ \lim_{\substack{ r=R\\ \varphi=\vartheta_0}} (R-r)\dfrac{\partial^2 u(r,\varphi)}{\partial \varphi^2}=0 \] und ein gleiches gilt für \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial r^2}\) und \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial r\partial\varphi}\).
Ferner werden einige Sätze von Fatou (vgl. F. d. M. 37, 283 (JFM 37.0283.*), 1906) folgendermaßen vervollständigt und verschärft. Es sei \(\vartheta_0\) ein Stetigkeitspunkt von \(f(\vartheta)\). Damit \[ \lim_{r=R}v(r,\vartheta) \] [\(v\) die konjugierte Funktion zu \(u\)] existiert, ist notwendig und hinreichend, daß der Ausdruck \[ \lim_{\varepsilon=0}\displaystyle\int\limits_{\varepsilon}{\vphantom{\int}}^{\pi} [f(\vartheta,t)-f(\vartheta-t)]\cos\frac t2\cdot dt \] existiert. Ist \([f(\vartheta)]^2\) integrierbar, so konvergiert \(v(r,\vartheta)\) bei der Annäherung an den Rand längs einer beliebigen, die Begrenzung nicht berührenden Kurve, außer etwa in einer Nullmenge der Punkte \((R,\vartheta_0)\), gegen einen bestimmten Wert \(g(\vartheta_0)\). Das Integral: \[ \displaystyle\int\limits_{-\pi}{\vphantom{\int}}^{+\pi} [g(\vartheta_0)]^2\,d\vartheta_0 \] existiert. Daraus folgt: Ist \([f(\vartheta)]^2\) im Riemannschen Sinne integrierbar, so ist der Grenzwert \[ h(\vartheta)=\lim_{\varepsilon=0} \displaystyle\int\limits_{\varepsilon}{\vphantom{\int}}^{\pi} [f(\vartheta+t)-f(\vartheta-t)]\frac{dt}t, \] außer höchstens in einer gewissen Nullmenge der Punkte \(\vartheta\), vorhanden. Die Funktion \([h(\vartheta)]^2\) ist integrierbar.
Diese Betrachtungen führen zu einigen Sätzen über die partiellen Ableitungen des logarithmischen Potentials einer einfachen Linienbelegung des Kreises, die zum Teil auf einem andern Wege von Picard abgeleitet sind.
Schließlich werden für das logarithmische Potential \[ U(x,y)=\frac1{4\pi}\iint\limits_{\overset\displaystyle\smile T_0} P(\xi,\eta)\log[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2]\,d\xi\,d\eta, \] in dem \(P (x, y)\) eine nebst ihrem Quadrate integrierbare Funktion bezeichnet, \(T_0\) ein beliebiges endliches Gebiet, folgende Sätze abgeleitet. Unter den angegebenen Voraussetzungen über \(P\) sind die partiellen Ableitungen \(\dfrac{\partial^2U}{\partial x^2}\), \(\dfrac{\partial^2U}{\partial y^2}\) vorhanden und nebst ihren Quadraten integrierbar, außer höchstens in einer gewissen Nullmenge \((Q)\) von Punkten \(x\), \(y\). In der zu \(T_0\) gehörigen Komplementarmenge von \((Q)\) besteht die Gleichung \[ \dfrac{\partial^2U}{\partial x^2}+ \dfrac{\partial^2U}{\partial y^2}=P(x,y) \] Ein ähnliches, wenn auch etwas weniger einfaches Verhalten zeigen die partiellen Ableitungen \(\dfrac{\partial^2U}{\partial x\partial y}\) und \(\dfrac{\partial^2U}{\partial y\partial x}\).
Für alle Funktionen \(P (x, y)\), die in dem ganzen Gebiete \(T_0\) stetig sind, gilt folgender Satz: Der Grenzwert \[ k(x,y)=\lim_{\tau=0}\iint\limits_{\overset\displaystyle\smile {T_0-\tau}} P(\xi,\eta)\dfrac{\partial^2\hfil}{\partial x^2} \log[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2]\,d\xi\,d\eta \] ist, außer etwa in einer gewissen Nullmenge der Punkte \(x\), \(y\), vorhanden.