Die bekannten Konvergenzuntersuchungen über die Fourierschen Entwicklungen nach Funktionen \(\varphi_i(s)\) eines Orthogonalsystems werden dadurch etwas modifiziert, daß die Partialsumme \(\int_a^bf(t)\sum\limits_{i=1} ^n\varphi_i(s)\varphi_i(t)\,dt\) unter der Annahme, daß \(f(t)\) von beschränkter Schwankung ist, in ein Stieltjessches Integral umgeformt wird; dabei tritt \(\psi_n(s,t)=\sum\limits_{i=1}^n\varphi_i(s)\int_a^t\varphi_i(t) \,dt\) auf, und man kann unter der Voraussetzung, daß \(\lim\limits_{n=\infty} \psi_n(s,t)\) im allgemeinen gleichmäßig konvergiert und gleich 1 für \(t>s\), bzw. gleich 0 für \(t<s\) ist, die Summe der Fourierreihe unmittelbar bestimmen. Vorab werden einfache Grenzwertsätze über Stieltjessche Integrale hergeleitet, die hierbei zur Verwendung kommen.