On a problem in indefinite analysis. (Über eine Aufgabe der unbestimmten Analyse.) (German) JFM 38.0246.01
Der Verf. behandelt die Auflösung der diophantischen Gleichung
\[
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=x.x_{1}.x_{2}\dots x_{n}
\]
in ganzen rationalen Zahlen. Die Fälle \(n=1\) und 2 werden direkt behandelt: \(n=2\), jedes System \(x_{1}=x_{2}\) ist eine Lösung. Für \(n>2\) setze man
\[
x_{1}'=xx_{2}\dots x_{n}-1.
\]
Dann ist auch
\[
x_{1}'^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=x.x_{1}'.x_{2}\dots x_{n}.
\]
Solche Lösungen heißen zur ursprünglichen benachbart. Hieraus und aus dem Begriff Höhe \(=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\) definiert der Verf. die “Grundlösung” und findet: \((x,x_{1},\dots,x_{n})\) ist dann und nur dann Grundlösung, wenn
\[
2x_{i}^{2}\leqq x\, x_{1}x_{2}\dots x_{n} \quad \quad \quad (i=1,2,\dots,n).
\]
Daraus folgt: ist \(x>n\), so existiert keine Auflösung. Ist \(x=n\), so sind alle Lösungen benachbart zu
\[
x_1=x_2=x_3=\cdots = x_n =1.
\]
Daraus kann der Verf. eine Tabelle aller möglichen Grundlösungen für \(n=3\) bis \(n=10\) berechnen. Zum Schlußweist der Verf. auf die Analogie dieser Theorie mit der Theorie der quadratischen Formen hin.
Reviewer: Fueter, Prof. (Basel)
MSC:
11D09 | Quadratic and bilinear Diophantine equations |