Es handelt sich um die Bahnlinien eines Massenpunktes \(m\) in einer Ebene, wenn die Bewegungsgleichungen die Form haben: \[ m\frac {d^2x}{dt^2}=\varphi (x,y),\quad m\frac {d^2y}{dt^2}=\psi (x,y). \] Ein erstes System geometrischer Eigenschaft wird durch die Betrachtung der \(\infty^1\) Bahnlinien erhalten, die von einem gegebenen Punkte aus in einer gegebenen Richtung mit allen möglichen Geschwindigkeiten beschrieben werden. Wenn man für jede dieser Kurven in dem gegebenen Punkte die vierpunktig berührende Parabel konstruiert, ist der Ort der Brennpunkte dieser Parabeln ein durch den Punkt gehender Kreis. Bei festgehaltenem Punkte und geänderter Anfangsrichtung ändert sich der Kreis auf eine bestimmte Art. Der Ort des Mittelpunkts der \(\infty^1\) Kreise ist ein Kegelschnitt um den gegebenen Punkt als Brennpunkt, oder aber die Hüllkurve jener Kreise ist selbst ein Kreis. Die nämlichen Eigenschaften kommen auch andern Kurvensystemen zu, wie durch eine besondere Untersuchung gezeigt wird.
Das nächste System von Eigenschaften, die hergeleitet werden, hängt mit der Betrachtung vierpunktig berührender Kreise zusammen. Die beiden ersten Eigenschaften, welche abgeleitet werden, gelten auch für die eben erwähnten allgemeinen Systeme. Wesentlich andere Eigenschaften werden zuerst in analytischer, danach in geometrischer Form erhalten.
Die Gesamtheit der nun erhaltenen Eigenschaften ist, wie nachgewiesen wird, vollständig charakteristisch für die Systeme dynamischer Bahnlinien. Die Eigenschaften sind sowohl hinreichend als auch notwendig. Jedes System von \(\infty^3\) Kurven, das die fraglichen Eigenschaften besitzt, kann durch eine gewisse (von der Lage abhängige) Kraft erzeugt werden. Diese Kraft ist eindeutig bestimmt, abgesehen von einem konstanten Faktor.
Zwei Paragraphen handeln von zwei interessanten besonderen Fällen. Der erste betrifft die konservativen Kräfte; hier ist der zuerst erwähnte Kegelschnitt, der den gegebenen Punkt zum Brennpunkt hat, eine (doppelt zu zählende) Gerade. Der zweite bezieht sich auf den Krafttypus, den Lecornu “analytisch” nennt (”F. d. M. 17, 877, 1885, siehe JFM 17.0877.00 2 u. JFM 17.0877.03”). Hier wird der Kegelschnitt ein Kreis. In beiden Fällen sind die Eigenschaften charakteristisch.
Der letzte Teil der Abhandlung dient zum Nachweise, daß Kollineationen die einzigen Punkttransformationen sind, welche jedes System von Bahnkurven in ein derartiges System verwandeln. Das Resultat wird schließlich benutzt, um eine wesentliche Beschränkung aus Appells Diskussion der Transformationstheorie dynamischer Probleme wegzuräumen (vgl. F. d. M. 21, 904, 1889, JFM 21.0904.01).