Unter einer vollkommenen Zahl versteht man bekanntlich eine Zahl, welche gleich der Summe ihrer echten Teiler ist. Verf. versteht allgemeiner unter einer vielfach vollkommen Zahl (multiply perfect number) eine Zahl, welche in der Summe ihrer Teiler aufgeht; den Quotienten nennt er die Vielfachheit (multiplicity); die gewöhnlichen vollkommenen Zahlen haben also die Vielfachheit 2. Verf. gibt eine Liste von 20 vielfach vollkommenen Zahlen (deren Vielfachheit 3, 4, 5, oder 6 ist), welche er durch systematisches Probieren gefunden hat. Ferner zieht er aus der Grundformel für die vielfach vollkommenen Zahlen \(\kappa = \prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i}\) von der Vielfachheit \(n\) \[ n\prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i} = n\kappa = \prod_{i=1}^r \frac{p_i^{\alpha_i +1} -1}{p_i -1} \] die Folgerung \[ n< \prod_{i=1}^r \frac{p_i}{p_i-1}\,; \] daraus ergibt sich: vielfach vollkommene Zahlen von der Vielfachheit 3 müssen mindestens 3 verschiedene Primfaktoren enthalten; solche von der Vielfachheit 4, 5, 6, 7 enthalten beziehlich mindestens 4, 6, 9, 14 Primfaktoren.
Dem Verf. ist übrigens entgangen, daßschon Fermat (vergl. Werke, 2, 247-248) und Legendre (vgl. Théorie des nombres, Art. 471) sich mit den vielfach vollkommenen Zahlen beschäftigt haben. Z. B. hat Legendre u. a. zwei spezielle vielfach vollkommene Zahlen von der Vielfachheit 3, bezw. 5 ausfindig gemacht \((2^8. 5. 7. 19. 37. 73\), bezw. \(2^7. 3^5. 5. 7^2. 13. 17. 19)\), welche vom Verf. nicht wiedergefunden worden sind.