Le mémoire de S. Rigot présente des résultats de régularité de sous-ensembles de \(\mathbb{R}^n\) qui quasi-minimisent le périmètre avec contrainte de volume. Ce mémoire comporte cinq chapitres.
Le premier chapitre est un rappel de la théorie de rectifiabilité et de la théorie des fonctions à variations bornées et des ensembles à périmètre fini. A la fin de ce chapitre, le problème de quasi-minimisation est introduit et les résultats principaux de ce mémoire sont énoncés. Les chapitres 2, 3 et 4 sont consacrés à leurs démonstrations. Le chapitre 5 traite de l’étude d’un problème de minimisation à volume fixé.
Dans le premier chapitre, un lemma d’approximation des ensembles quasi-isopérimétriques par des boules est démontré (Lemme 1.3.13). Dans le deuxième chapitre, une version faible du Théorème 1.4.4 dans laquelle les constantes de régularité ne sont pas forcément universelles est démontrée. Plus précisément, tout quasi-minimum est équivalent à un ouvert dont la frontière est Ahlfors-régulière (Définition 1.2.4) et vérifiant la condition B (Définition 1.2.6). Les constants intervenant dans ces définitions ne sont pas à priori universelles. Dans le troisième chapitre des constructions géométriques sont élaborées permettant à postériori l’obtention de constantes universelles. Le point important de ce chapitre est la construction de la Proposition 3.2.1. Dans le quatrième chapitre, les démonstrations des résultats énoncés dans le chapitre 1 sont accomplies. Il y est démontré en particulier que les constantes dans l’Ahlfors-régularité et dans la condition B ne dépendent que des données du problème. Dans le cinquième chapitre, le problème de minimisation composé d’un terme de surface et d’un terme homogène est traité moyennant des informations quantitatives et uniformes recueillies au cours du travail fait précédemment et évitant ainsi les méthodes classiques de calcul des variations.
Ce mémoire est très bien écrit et bien structuré. Les non-spécialistes du domaine peuvent aussi en tirer profit.