Der ausführliche in seiner lebhaften Art sehr bemerkenswerte Artikel eröffnet insbesondere dem fortgeschrittenen Studenten interessante Einblicke in die Werkstatt eines mit konkreten Problemen befaßten Mathematikers. An Hand verschiedener Lösungsversuche wird eine Fülle von methodischen Erfahrungen mitgeteilt. Der Verf. bedauert, daß eine wachsende Anzahl von graduierten Studenten heute, an der ungenügenden Diät der modernen Mathematik herangezogen, Angst vor den Schwierigkeiten besonderer Probleme habe, die richtig anzugreifen sie weder den Mut noch die geistige Übung besitzen; sie wenden sich vielmehr leichteren und langweiligeren Dingen zu.
Die Darstellung geht aus von dem nach S. M. Ulam benannten, aber von P. Erdős und G. Szekeres [Compos. Math. 2, 463–470 (1935; Zbl 0012.27010; JFM 61.0651.04)] stammenden
Satz 1: Jede Folge reeller Zahlen mit \((n^2+1)\) Gliedern enthält eine monotone Teilfolge von \((n+1)\) Gliedern.
Er ist ein Sonderfall von
Satz 2: Jede reelle Folge von \((ad + 1)\) Gliedern enthält entweder eine wachsende Teilfolge von \((a+1)\) oder eine fallende Teilfolge von \((d + 1)\) Gliedern.
\(\chi(r)\) bezeichne die kleinste ganze Zahl mit der Eigenschaft \(\chi(r)\ge r\). Wird dann in der Folge \(X= \{x_1,x_2,\ldots\}\) die Teilfolge \(X_N = \{x_1,x_2,\ldots, x_N\}\) der ersten \(N\) Glieder betrachtet, und sind \(l_N, l'_N\) und \(l_N^*\) die Längen (Gliederzahlen) der längsten in \(X_N\) vorhandenen Teilfolgen, die steigend, fallend bezw. monoton sind, so gilt
Satz 3: Es besteht die Ungleichung \(l_N^*\ge \chi(\sqrt{N})\), die nicht verbessert werden kann.
Schließlich gilt, wenn \(X\) eine Folge von identisch und stetig verteilten Zufallsvariablen ist, der
Satz 4: Die Größen \(N^{-1/2}\cdot l_N\) und \(N^{-1/2}\cdot l_N^*\) konvergieren beide zu einer gemeinsamen absoluten Konstanten \(c\), wenn \(N\to\infty\) strebt.
Für diese und einige weitere Sätze werden strenge Beweise oder auch weniger strenge, aber naheliegende Begründungen angegeben, welche als Modelle der vom Verf. angestrebten Beweisdidaktik dienen. Als methodische Hilfsmittel werden dabei neben dem elementaren Schubfachprinzip subadditive und superadditive statistische Prozesse, stochastische Summationen und Monte-Carlo-Verfahren herangezogen. Besonderes Interesse ist dem asymptotischen Verhalten im Ulamschen Problem und der genauen Bestimmung der absoluten Konstanten \(c\) zugewandt, für die mehrere Methoden vorgeführt werden.
Größeren Aufwand and mathematischem Spürsinn benötigt die handliche Darstellung der mit der Monte-Carlo-Methode verbundenen charakteristischen Funktion und der dabei auftretenden ganzzahligen Koeffizienten.
Den Abschluß bilden einige Bemerkungen über verschiedene mit dem Ulamschen Problem zusammenhängende Fragestellungen.
[Dieser Artikel erschien in dem im Zbl 0228.62002 angezeigten Sammelwerk.]