1. \(ax^2+bxy+cy^2\) sei eine definite quadratische Form, also \(\Delta = 4ac-b^2>0\). Für die Zetafunktion \[ \mathsf{Z}(s)=\mathop{{\sum}'} (am^2+bmn+cn^2)^{-s}, \qquad \text{Re}\,s > 1, \] gilt die Formel \[ \mathsf{Z}(s)= 2\zeta(2s)a^{-s}+\frac{2^{2s}a^{s-1}\sqrt{\pi}}{\Gamma(s)\Delta^{s-\frac12}} \zeta(2s-1)\Gamma(s-\frac12)+Q(s) \] mit einer ganzen Funktion \(Q(s)\) (vgl. Ref. [Math. Z. 37, 405–415 (1933; Zbl 0007.29602, JFM 59.0946.03); J. Reine Angew. Math. 172, 226–252 (1935; Zbl 0010.39202, JFM 61.0327.02); Ann. Math. (2) 38, 584–593 (1937; Zbl 0017.06801, JFM 63.0271.04)] für verschiedene Darstellungen von \(Q(s))\).
Die Verff. geben die neue Formel \[ Q(s)= \frac{\pi^s 2^{s+\frac32}}{a^{\frac12} \Gamma(s) \Delta^{\frac s2-\frac12}} \sum_{n=1}^\infty n^{s-\frac12}\sigma_{1-2s}(n) \cos \frac{n\pi b}{a}\int_0^\infty x^{s-\frac32} e^{-\frac{\pi n\Delta^{\frac12}}{2a}} \left(x+\frac1x\right)\,dx,\quad \sigma_{\alpha}(n)=\sum_{t\mid n} t^\alpha.\tag{1} \]
Diese Formel wird zu mehreren Folgerungen benutzt.
2. \(L_p(s)=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n}{p}\right)n^{-s}\) sei die quadratische \(L\)-Reihe zum Primzahlmodul \(p\). Chowla hatte für eine Reihe von \(p\)-Werten gezeigt, daß \(L_p(s) > 0\) in \(0<s\leq 1\) gilt. Für kleine Werte der Klassenzahl \(h(-p)\) des Körpers \((\sqrt{-p})\) versagte seine Methode. Für \(p= 43, 67, 163\) wird nun \(L_p(\frac12) > 0\) gezeigt mittels des Satzes:
Wenn \(h(-p) = 1\) ist, so gilt \[ \zeta(\frac12)L_p(\frac12)=\gamma+\log \frac{\sqrt p}{8\pi}+\frac{8\Theta e^{-\frac{\pi}{2}\sqrt p}}{\pi \sqrt p\left(1-e^{-\frac{\pi}{2}\sqrt p}\right)}, \tag{2} \] \(\gamma = \) Eulerkonstante, \(\Theta = \) reell, \(|\Theta| <1\). Mit etwas mehr Rechnung folgt auch \(L_p(s) > 0\) für \(s\geq \frac12\).
(2) zeigt ferner, daß es für eine Primzahl \(p > 163\) mit \(h(-p) = 1\) (es könnte noch höchstens eine geben) \(L_p(\frac12) < 0\) sein müßte.
3. Sei \[ 0 < k_\nu <1,\quad k_1^2+k_2^2=1,\quad k_\nu=\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{1-k_\nu^2\sin^2x}}. \] Wenn \(ik_2/k_1\) einem der drei Körper \((\sqrt{-1})\), \((\sqrt{-2})\), \((\sqrt{-3})\) angehört, so kann \(k_\nu\) explizit berechnet werden. Diese drei (auf verschiedenen Wegen erlangten) klassischen Resultate verallgemeinern die Verff. mittels (1):
\(-d\) sei Diskriminante des imaginären quadratischen Zahlkörpers \((\sqrt{-d})\), \(h(-d)\) seine Klassenzabl, \(w\) seine Einheitenzahl. Wenn \(ik_1/k_2\) in \((\sqrt{-d})\) liegt, so gilt \[ k_\nu=\lambda_\nu \sqrt{\pi}\left[\prod_{m=1}^d \Gamma\left(\frac{m}{d}\right)^{(\frac{-d}{m})} \right]^\frac{w}{4}; \] mit einer algebraischen Zahl \(\lambda_\nu\); \(\left(\frac{-d}{m}\right)\) bedeutet das Kroneckersymbol. Z. B. \[ k_2/k_1=\sqrt p,\ h(-p)=1: \quad \frac{2k_1}{\pi}=\frac{2^{\frac12} (k_1k_2)^{-\frac12}}{\sqrt{2\pi p}}\left[\prod_{\nu=1}^{p-1} \Gamma\left(\frac{\nu}{p}\right)^{(\frac{\nu}{p})}\right]^{\frac{w}{4}}; \] \[ p=7:\quad F\left(\frac14,\frac14,1;\frac1{64}\right)=\sqrt{\frac{2}{7\pi}}\left[\frac{\Gamma(\frac17)\Gamma(\frac27)\Gamma(\frac47)}{\Gamma(\frac37)\Gamma(\frac57)\Gamma(\frac67)}\right]^{\frac12}, \] \(F\) hypergeometrische Funktion.
4. Sei \[ G_d(s) = \mathop{{\sum}'} (n_1^2+n_2^2 +dn_3^2)^{-s},\quad \text{Re}\,s>\frac32. \] \(G_d(s)\) ist nach links fortsetzbar and eine (1) ähnliche Formel gibt für \(d > d_0\) die Existenz eines reellen \(\Theta_0\ne 0\) mit \(G_d(\Theta_d) = 0\), \(\lim_{d\to\infty} \Theta_d = 0\).