Идентитет (математика)

У математици, идентитет је једнакост која се односи на један математички израз A на други математички израз B, тако да A и B (које могу садржати неке променљиве) производе исту вредност за све вредности варијабли унутар одређеног домена дискурса.^[1][2] Другим речима, A=B је идентитет ако A и B дефинишу исте функције, а идентитет је једнакост између функција које су различито дефинисане. На пример, ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ и ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$ су идентитети.^[3] Идентитети се понекад означавају симболом троструким знаком једнакости (≡), уместо знаком једнакости (=).^[4] Формално, идентитет је универзално квантификована једнакост.

Одређени идентитети, као на пример ${\displaystyle a+0=a}$ и ${\displaystyle a+(-a)=0}$, чине основу алгебре,^[5] док други идентитети, као на пример ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ и ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$, може бити корисно у поједностављивању алгебарских израза и њиховом проширењу.^[6]

Геометријски, тригонометријски идентитети су идентитети који укључују одређене функције једног или више углова.^[7] Они се разликују од идентитета троугла, који су идентитети који укључују и углове и дужине страница троугла. У овом чланку су обрађени само први.

Ови идентитети су корисни кад год изразе који укључују тригонометријске функције треба поједноставити. Друга важна примена је интеграл нетригонометријских функција: уобичајена техника која укључује прво коришћење правила замене са тригонометријском функцијом, а затим поједностављивање резултујућег интеграла са тригонометријским идентитетом.

Један од најистакнутијих примера тригонометријских идентитета укључује једначину ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$ што важи за све стварне вредности од ${\displaystyle \theta }$. С друге стране, једначина

${\displaystyle \cos \theta =1}$

важи само за одређене вредности ${\displaystyle \theta }$, а не све. На пример, ова једначина је тачна када је ${\displaystyle \theta =0,}$ али нетачна када је ${\displaystyle \theta =2}$.

Друга група тригонометријских идентитета односи се на такозване формуле сабирања/одузимања (на пример идентитет двоструког угла ${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$, формула за додавање за ${\displaystyle \tan(x+y)}$), који се може користити за разбијање израза већих углова на оне са мањим састојцима.

Следећи идентитети важе за све целобројне степене, под условом да је база различита од нуле:

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}$

За разлику од сабирања и множења, степеновање није комутативно. На пример, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 и 2 · 3 = 3 · 2 = 6, али 2³ = 8 док је 3² = 9.

Такође, за разлику од сабирања и множења, степеновање такође није асоцијативно. На пример, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 и (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, али 2³ до 4 је 8⁴ (или 4,096) док је 2 до 3⁴ 2⁸¹ (или 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Када нису написане заграде, по конвенцији је редослед одозго надоле, а не одоздо према горе:

${\displaystyle b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},}$ док ${\displaystyle (b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.}$

Неколико важних формула, које се понекад називају логаритамски идентитети или логаритамски закони, повезују логаритме један са другим:^[а]

Логаритам производа је збир логаритама бројева који се множе; логаритам односа два броја је разлика логаритама. Логаритам p тог степена броја је p пута већи од логаритма самог броја; логаритам p тог корена је логаритам броја подељеног са p. Следећа табела наводи ове идентитете са примерима. Сваки од идентитета се може извести након замене дефиниција логаритма ${\displaystyle x=b^{\log _{b}x},}$ и/или ${\displaystyle y=b^{\log _{b}y},}$ у леве стране.

	Формула	Пример
производ	${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$	${\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5}$
количник	${\displaystyle \log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	${\displaystyle \log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4}$
степен	${\displaystyle \log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)}$	${\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6}$
корен	${\displaystyle \log _{b}\!{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}}$	${\displaystyle \log _{10}\!{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}$

Логаритам log_b(x) се може израчунати из логаритама x и b у односу на произвољну базу k користећи следећу формулу:

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.}$

Типични научни калкулатори израчунавају логаритме на основу 10 и e.^[8] Логаритми у односу на било коју базу b могу се одредити коришћењем било ког од ова два логаритма по претходној формули:

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.}$

Дат је број x и његов логаритам log_b(x) непознатој основици b, база је дата са:

${\displaystyle b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.}$

Хиперболичке функције задовољавају многе идентитете, а сви су по форми слични тригонометријским идентитетима. У ствари, Озборново правило^[9] каже да се може конвертовати било који тригонометријски идентитет у хиперболички идентитет тако што ће га се у потпуности проширити у смислу целобројних снага синуса и косинуса, променити синус у sinh и косинус у cosh, и променити знак сваког члана који садржи производ парног броја хиперболичких синуса.^[10]

Гудерманова функција даје директну везу између тригонометријских и хиперболичких функција која не укључује комплексне бројеве.

Формално, идентитет је права универз��лно квантификована формула форме ${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{n}:s=t,}$ где су s и t чланови без других слободних променљивих осим ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}.}$ Префикс квантификатора ${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{n}}$ често остаје имплицитно, када се наводи да је формула идентитет. На пример, аксиоми моноида се често дају као формуле

${\displaystyle \forall x,y,z:x*(y*z)=(x*y)*z,\quad \forall x:x*1=x,\quad \forall x:1*x=x,}$

или, укратко,

${\displaystyle x*(y*z)=(x*y)*z,\qquad x*1=x,\qquad 1*x=x.}$

Дакле, ове формуле су идентитети у сваком моноиду. Као и за сваку једнакост, формуле без квантификатора се често називају једначинама. Другим речима, идентитет је једначина која је тачна за све вредности променљивих.^[11][12]

• Рачуноводствени идентитет
• Списак математичких идентитета

 

• The Encyclopedia of Equation Онлајн енциклопедија математичких идентитета (архивирано)
• Збирка алгебарских идентитета Архивирано на сајту Wayback Machine (1. октобар 2011)