Hipotenuza

Në gjeometri, një hipotenuzë është ana e një trekëndëshi kënddrejtë përballë këndit të drejtë . Është brinja më e gjatë e çdo trekëndëshi të tillë; dy brinjët e tjera më të shkurtra të një trekëndëshi të tillë quhen katete. Gjatësia e hipotenuzës mund të gjendet duke përdorur teoremën e Pitagorës, e cila thotë se katrori i gjatësisë së hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të gjatësisë së dy kateteve. Matematikisht, kjo mund të shkruhet si ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, ku a është gjatësia e njërit katet, b është gjatësia e katetit tjetër dhe c është gjatësia e hipotenuzës. ^[1]

Për shembull, nëse njëra nga katetet ka një gjatësi prej 3 njësi dhe tjetra ka një gjatësi prej 4 njësi, atëherë katrorët e tyre mblidhen duke dhënë 25 = 9 + 16 = 3 × 3 + 4 × 4. Meqenëse 25 është katrori i hipotenuzës, gjatësia e hipotenuzës është rrënja katrore e 25, domethënë 5. Me fjalë të tjera, nëse ${\displaystyle a=3}$ dhe ${\displaystyle b=4}$, atëherë ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=5}$ .

Në një trekëndësh kënddrejtë, hipotenuza është brinja që është përballë këndit të drejtë, ndërsa dy brinjët e tjera quhen katete . Gjatësia e hipotenuzës mund të llogaritet duke përdorur funksionin e rrënjës katrore të nënkuptuar nga teorema e Pitagorës. Duke përdorur funksionin e rrënjës katrore në të dy anët e ekuacionit, rezulton se

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Si pasojë e teoremës së Pitagorës, hipotenuza është brinja më e gjatë e çdo trekëndëshi kënddrejtë; domethënë, hipotenuza është më e gjatë se secila nga katetet e trekëndëshit. Për shembull, duke pasur parasysh gjatësinë e kateteve a = 5 dhe b = 12, atëherë shuma e kateteve në katror është (5 × 5) + (12 × 12) = 169, katrori i hipotenuzës. Kështu, gjatësia e hipotenuzës është rrënja katrore e 169, e shënuar ${\displaystyle {\sqrt {169}}}$, që është e barabartë me 13.

Teorema e Pitagorës, dhe rrjedhimisht kjo gjatësi, mund të rrjedhë gjithashtu nga ligji i kosinuseve në trigonometri . Në një trekëndësh kënddrejtë, kosinusi i një këndi është raporti i katetit anash këndit dhe hipotenuzës. Për një kënd të drejtë γ (gama), ku kateti ngjitur është i barabartë me 0, kosinusi i γ gjithashtu është i barabartë me 0. Teorema e kosinusit pohon se ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta }$ vlen për një kënd θ (theta). Duke vëzhguar se këndi përballë hipotenuzës është i drejtë dhe duke vërejtur se kosinusi i saj është 0, pra në këtë rast θ = γ = 90°:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta =a^{2}+b^{2}\implies c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Me anë të raporteve trigonometrike, mund të merret vlera e dy këndeve, ${\displaystyle \alpha \,}$ dhe ${\displaystyle \beta \,}$, të trekëndëshit kënddrejtë.

Duke pasur parasysh gjatësinë e hipotenuzës ${\displaystyle c\,}$ dhe të një kateti ${\displaystyle b\,}$, raporti është:

${\displaystyle {\frac {b}{c}}=\sin(\beta )\,}$

Funksioni i anasjelltë trigonometrik është:

${\displaystyle \beta \ =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)\,}$

në të cilën ${\displaystyle \beta \,}$ është këndi përballë katetit ${\displaystyle b\,}$ .

Këndi fqinj i katetit ${\displaystyle b\,}$ është ${\displaystyle \alpha \,}$ = 90° - ${\displaystyle \beta \,}$

Mund të merret edhe vlera e këndit ${\displaystyle \beta \,}$ nga ekuacioni:

${\displaystyle \beta \ =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\,}$

në të cilën ${\displaystyle a\,}$ është kateti tjetër.

1. ^ Jr, Jesse Moland (gusht 2009). I Hate Trig!: A Practical Guide to Understanding Trigonometry (në anglisht). Jesse Moland. fq. 1. ISBN 978-1-4486-4707-1.