Moment (matematyka)

Ten artykuł od 2014-10 wymaga zweryfikowania podanych informacji: posiada szerszy kontekst (właściwie to i tak jest zalążkiem).

Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Moment zwykły ${\displaystyle m_{k}}$ rzędu ${\displaystyle k}$ (gdzie ${\displaystyle k=1,2,...}$) zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ to wartość oczekiwana ${\displaystyle k}$-tej potęgi tej zmiennej.

${\displaystyle m_{k}=E(X^{k})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}dF(x)=\left\{{\begin{array}{l}{\sum _{i}{x_{i}^{k}p_{i}}}&{(1)}\\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{x^{k}f(x)dx}}&{(2)}\end{array}}\right.}$

gdzie:

${\displaystyle E(X)}$ – wartość oczekiwana zmiennej losowej ${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}dF(x)}$ – całka Stieltjesa względem dystrybuanty,

${\displaystyle F(x)}$ – dystrybuanta,

${\displaystyle p}$ – funkcja prawdopodobieństwa,

${\displaystyle f}$ – funkcja gęstości.

Wzory (1) i (2) stosować należy odpowiednio dla zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym i rozkładzie ciągłym.

Dla ${\displaystyle k=1}$ otrzymuje się wzór na wartość oczekiwaną zmiennej losowej ${\displaystyle X}$, zatem wartość oczekiwana jest pierwszym momentem zwykłym ${\displaystyle m_{1}.}$

Moment zerowy ${\displaystyle m_{0}}$ - to suma prawdopodobieństw zmiennej losowej; jest równy 1.

• moment centralny