L-Funktion einer elliptischen Kurve

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In der Mathematik ist die L-Funktion einer elliptischen Kurve oder Hasse-Weil-Zeta-Funktion ein wichtiges Werkzeug der Zahlentheorie.

Sei eine elliptische Kurve über . Für eine Primzahl definieren wir den lokalen Faktor der L-Reihe in wie folgt.

Wenn modulo gute Reduktion hat, sei die Anzahl der Punkte in und . Wir definieren dann

.

Weiter definieren wir

, wenn modulo spaltende semistabile Reduktion hat,
, wenn modulo nicht-spaltende semistabile Reduktion hat,
, wenn modulo instabile Reduktion hat.

Die L-Reihe der elliptischen Kurve wird dann als Produkt über die lokalen Faktoren definiert:

Aus der von Hasse bewiesenen Ungleichung folgt Konvergenz und Analytizität von für .

Die Gleichung beschreibt ein minimales Modell mit Diskriminante . Die einzige Primzahl schlechter Reduktion ist , dort ist die Reduktion spaltend semistabil. Also ist

.

Die Kurve hat instabile Reduktion in und , spaltende semistabile Reduktion in und nicht-spaltende semistabile Reduktion in und . Damit ist

.

Dirichlet-Entwicklung

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Die L-Reihe einer elliptischen Kurve hat eine Entwicklung als Dirichlet-Reihe:

,

wobei die Fourier-Koeffizienten wie folgt berechnet werden:

  • .
  • Für eine Primzahl ist
    • , wenn gute Reduktion in hat,
    • , wenn spaltende semistabile Reduktion in hat,
    • , wenn nicht-spaltende semistabile Reduktion in hat,
    • , wenn instabile Reduktion in hat.
  • Für eine Primzahlpotenz ist im Falle guter Reduktion modulo der Fourier-Koeffizient rekursiv definiert durch , während im Falle schlechter Reduktion gilt.
  • Für teilerfremde Zahlen gilt .

Funktionalgleichung

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Die L-Reihe einer elliptischen Kurve hat eine analytische Fortsetzung auf die gesamte komplexe Zahlenebene und erfüllt mit

für den Führer und die Gamma-Funktion eine Funktionalgleichung

mit . Diese von Hasse und Weil aufgestellte Vermutung folgt aus dem Modularitätssatz. Aus der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer würde folgen.

  • A. Lozano-Robledo: Elliptic curves, modular forms, and their L-functions. Student Mathematical Library 58. American Mathematical Society (AMS), Providence, RI 2011, ISBN 978-0-8218-5242-2/pbk.