Eine wesentliche Frage der algebraischen Zahlentheorie, nämlich die Lösung von Einbettungsproblemen mit lokaler Vorgabe, läßt sich gruppentheoretisch auffassen als die Frage nach der Lage der Zerlegungsgruppen \(\mathfrak G_p\) in der Galois-gruppe \(\mathfrak G = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb Q}\vert \mathbb Q)\) des Körpers aller algebraischen Zahlen [vgl. J. Neukirch, J. Reine Angew. Math. 259, 1–47 (1973; Zbl 0263.12006)]. Während die Struktur der lokalen Galoisgruppen \(\mathfrak G_p\) weitgehend geklärt ist, ist ein tieferer Einblick in die (pro-endlichen) Relationen zwischen den Gruppen \(\mathfrak G_p\) innerhalb von \(\mathfrak G\) nicht vorhanden. Neukirch vermutete, daß zwischen endlich vielen \(\mathfrak G_p\) keine Relationen auftreten; für den auflösbaren Teil, d.h. innerhalb der maximalen auflösbaren Faktorgruppe \(\mathfrak G^{\text{aufl}}\) von \(\mathfrak G\) wurde dies in der Dissertation von E. Globig [Freie proendliche Produktzerlegungen von Galoisgruppen durch Zerlegungsgruppen. Diss. Regensburg (1976)] mit klassenkörper-theoretischen Methoden wie dem Dualitätssatz von Tate-Poitou bewiesen. Die gleiche Vermutung und ein mit gleichen Methoden gefundenes positives Resultat im nilpotenten Fall findet sich bei Yu. L. Ershov [Sov. Math., Dokl. 15, 424–428 (1974); translation from Dokl. Akad. Nauk SSSR 215, 41–44 (1974; Zbl. 306.12110)].
Die vorliegende Arbeit zeigt, daß die Vermutung (bei geeigneter Auswahl der nur bis auf Konjugation bestimmten lokalen Galoisgruppen \(\mathfrak G_p\)) allgemein richtig ist. Man benötigt hierzu weniger die Zahlentheorie – die wesentlich in den Beweis eingehende Eigenschaft von \(\mathbb Q\) ist die Gültigkeit des Hilbertschen Irreduzibilitätssatzes. Des weiteren wird das Haarsche Maß auf der kompakten Gruppe \(\mathfrak G\) ausgenutzt, die endgültigen Resultate lauten dann:
Bei fast jeder Auswahl endlich vieler lokaler Gruppen \(\mathfrak G_p\) (zu gleichen oder verschiedenen \(p\) !) erzeugen diese ein freies Produkt in \(\mathfrak G\).