Affin geometria
A matematika, azon belül a geometria területén használatos az affin geometria fogalma. Két ekvivalens módon is értelmezhető.[1]
A fogalom értelmezhető egyfelől úgy, hogy mellőzzük az euklideszi geometria metrikus fogalmait , azaz a távolságok és szögek használatát elhagyjuk, és csak a metrikafüggetlen fogalmakat használjuk, mint a párhuzamosságot. Az affin geometriát gyakran a párhuzamosok vizsgálatával azonosítják, mert alapvető tétele a Playfair-axióma. Az axióma kimondja, hogy egy adott e egyeneshez és P ponthoz található egy, és csak egy olyan egyenes, amely párhuzamos e-vel és áthalad P-n. Az alakzatok összehasonlítása az affin geometriában az affin transzformációk segítségével történik.
Másfelől a lineáris algebra fogalomkörében az affin tér egy ponthalmaz és egy transzformációhalmaz alkotta rendezett párként értelmezhető. A közös halmazban a pontok bijektív leképezések oly módon, hogy minden (P, Q) pontpárra létezik egyértelműen egy transzformáció, amely a P pontot a Q pontra képezi le. A transzformációk a függvénykompozíció műveletével vektorteret alkotnak valamely test, jellemzően a valós számtest felett.
Axiomatikus definíció
szerkesztésAffin geometriának nevezzük az olyan és (pont- illetve egyeneshalmazokból) képzett rendezett párokat, amelyekre adott egy (metszési) reláció, valamint egy (párhuzamossági) reláció a következő tulajdonságokkal: [2]
- Két különböző és pontra pontosan egy olyan egyenes létezik, amely mindkét pontot metszi, azaz és egyaránt fennáll. Ezt az egyenest az egyszerűség kedvéért szokás egyenesként is emlegetni.
- Minden egyenes legalább két pontot metsz.
- A párhuzamossági reláció ekvivalenciareláció.
- Egy adott ponthoz és adott egyeneshez pontosan egy olyan egyenes létezik, amely metszi az pontot és párhuzamos az egyenessel.
- Ha adott egy háromszög (három nem egy egyenesen fekvő pont), valamint két és úgy, hogy az egyenes párhuzamos az egyenessel, akkor létezik egy olyan pont, amelyre az egyenes párhuzamos az egyenessel és a egyenes párhuzamos a egyenessel.
Jegyzetek
szerkesztés- ↑ Artin, Emil. Geometric algebra, (Reprint of the 1957 original; A Wiley-Interscience Publication), Wiley Classics Library, John Wiley & Sons Inc., x+214. o.. mr:1009557 (1988). ISBN 0-471-60839-4
- ↑ Ewald, Günter. Geometrie: Eine Einführung für Studenten und Lehrer, Moderne Mathematik in elementarer Darstellung (német nyelven). Vandenhoeck & Ruprecht (1974). ISBN 978-3525405369
További információk
szerkesztés- Moussung Gábor: Affin geometria (egyetemi jegyzet)
- Vincze Csaba: Az affin geometria alapjai, Debreceni Egyetem, 2022. március 18.
