La conjecture \(\varepsilon \) locale de Kato en dimension 2

On démontre une équation fonctionnelle dans la théorie d’Iwasawa d’une représentation p-adique du groupe de Galois absolu de \({\mathbf{Q}_p}\) de dimension 2. Ceci nous permet de compléter la preuve de Nakamura de la conjecture \(\varepsilon \) locale de Kato en dimension 2.

We show an Iwasawa functional equation for a two dimensional p-adic representation of the absolute Galois group of \({\mathbf{Q}_p}\). This allows us to complete Nakamura’s proof of Kato’s local \(\varepsilon \)-conjecture in dimension 2.

1. Le corps L jouera le rôle du corps de coefficients. Il sera fixe mais l’on se permettra éventuellement, si besoin, de remplacer L par une extension finie de lui même.

2. Explicitement, si \(g \in \mathscr {G}_{\mathbf{Q}_p}\) se réduit modulo p à la puissance \(\mathrm {deg}(g) \in \mathbf{Z}\) du Frobenius absolu, alors \(\delta (g) = \delta (p)^{- \mathrm {deg}(g)} \delta (\chi (g))\).

3. On renvoie le lecteur non familiarisé aux sections correspondantes du texte pour les définitions des objets introduits sans définition dans cette introduction.

4. L’action de \(\varphi \), \(\sigma _a\) et la multiplication par \((1 + T)^b\), \(a \in {\mathbf {Z}_p^\times }, b \in {\mathbf{Z}_p}\), correspondant à \({{\big ({\begin{matrix}p&{}0\\ 0&{}1\end{matrix}}\big )}}\), \({{\big ({\begin{matrix}a&{}0\\ 0&{}1\end{matrix}}\big )}}\) et \({{\big ({\begin{matrix}1&{}b\\ 0&{}1\end{matrix}}\big )}}\) respectivement.

5. Notons que les deux variables j et k semblent être redondantes, mais elles seront utiles plus tard.

6. Si \(r \in {\mathbf{Q}_p}\) et \(n \in \mathbf{N}\) est tel que \(rp^n \in {\mathbf{Z}_p}\), on pose \([\varepsilon ^{r}] = \varphi ^{-n}((1 + T)^{p^n r}) = \zeta _{p^n}^{p^n r} e^{tr} \in L_n[[t]]\).

7. Dans les notations de ce texte, [24, Prop. 3.14] est équivalent à montrer une équation fonctionnelle analogue à celle du théorème 0.1 réliant les valeurs et \(\exp ^*(\int _\Gamma \eta ^{-1} \chi ^{j} \cdot \mu ) \otimes \mathbf {e}^\mathrm{dR, \vee }_{\eta ^{-1}, j}\) pour \(1 -k \le j \le 0\). On peut facilement adapter les techniques de ce texte pour retrouver l’énoncé de [24, Prop. 3.14], mais les nouvelles tehniques introduites ici ne ne sont pas nécessaires dans ce cas.

8. Il existe ici un petit abus évident en notant par \(\varphi ^{-n}\) deux applications différentes, l’une étant l’application de localisation notée usuellement \(\iota _n\) et l’autre l’inverse de l’opérateur \(\varphi \) agissant sur \({\mathbf{D}_{\mathrm{cris}}}(D)\), mais cela ne devrait pas causer problèmes de lecture.

9. Soit \(\mathrm {LA}({\mathbf {Z}_p^\times }, L) = \varinjlim _{n > 0} \mathrm {LA}_n({\mathbf {Z}_p^\times }, L)\) l’espace des fonctions localement analytiques sur \({\mathbf {Z}_p^\times }\) à valeurs dans L, où \(\mathrm {LA}_n({\mathbf {Z}_p^\times }, L)\) dénote l’espace des fonctions continues \(f :{\mathbf {Z}_p^\times }\rightarrow L\) admettant, pour tout \(x \in {\mathbf {Z}_p^\times }\), un développent en séries des puissances autour x convergeant sur la boule \(B(x, n) = \{ z \in {\mathbf{C}_p}: v_p(z - x) \ge n \}\). Chaque \(\mathrm {LA}_n({\mathbf {Z}_p^\times }, L)\), muni de la valuation \(v_{\mathrm {LA}_n}(f) := \inf _{x \in {\mathbf {Z}_p^\times }} \inf _{z \in B(x, n)} v_p(f(z))\), est un espace de Banach, et l’on munit \(\mathrm {LA}({\mathbf {Z}_p^\times }, L)\) de la topologie de la limite inductive. L’espace des distributions \(\mathscr {D}({\mathbf {Z}_p^\times }, L)\) est défini comme le dual continu de \(\mathrm {LA}({\mathbf {Z}_p^\times }, L)\), muni de la topologie forte. Si \(\mu \in \mathscr {D}({\mathbf {Z}_p^\times }, L)\) et \(\phi \in \mathrm {LA}({\mathbf {Z}_p^\times }, L)\), on note \(\int _{\mathbf {Z}_p^\times }\phi \cdot \mu \) l’évaluation de \(\mu \) en \(\phi \). Cf. [9, Sect. I.4] pour plus de détails.

10. Rappelons d’abord que \(\mathscr {R}_{\mathfrak {X}_n} = \mathscr {R}\widehat{\otimes } \Lambda _n = \varinjlim _s \varprojlim _r \mathscr {R}^{[r, s]} \widehat{\otimes } \Lambda _n\) et que \(\Gamma \) agit trivialement sur le deuxième facteur. Si \(x \otimes \lambda \in D \widehat{\otimes } \Lambda _n^\iota \), \(f \otimes \mu \in \mathscr {R}_{\mathfrak {X}_n} \cong \mathscr {R}\widehat{\otimes } \Lambda _n\) et \(\gamma \in \Gamma \), alors on a

    $$\begin{aligned} \gamma ((f \otimes \mu ) (x \otimes \lambda ))= & {} \gamma (f x \otimes \mu \lambda ) = \gamma (fx) \otimes [\gamma ^{-1}] \lambda \mu \\= & {} (\gamma (f) \otimes \mu ) (\gamma (x) \otimes [\gamma ^{-1}] \lambda ) = \gamma (f \otimes \mu ) \gamma (x \otimes \lambda ), \end{aligned}$$

    ce qui montre que l’action de \(\Gamma \) est semi-linéaire, et donc \(\mathbf {Dfm}(D)\) est bien un \((\varphi , \Gamma )\)-module sur \(\mathscr {R}_{\mathfrak {X}}\) comme défini dans Sect. 1.6.

11. Rappelons que, si \(V \in \mathrm {Rep}_L \mathscr {G}_{\mathbf{Q}_p}\) et si \(D = \mathbf{D}_\mathrm{rig}(V) \in \Phi \Gamma ^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(\mathscr {R})\) est le \((\varphi , \Gamma )\)-module associé à V par l’équivalence de catégories de Fontaine-Kedlaya, alors \(H^i_\mathrm{Iw}(D) = H^i({\mathbf{Q}_p}, \mathscr {D}(\Gamma , V))\) (cf. [20, Cor. 4.4.11] et [8, Prop. II.1.8]). Dans ce cas-là, on peut voir un élément dans \(H^i_\mathrm{Iw}(D)\) comme un cocycle à valeurs dans \(\mathscr {D}({\mathbf {Z}_p^\times }, V)\) et, si \(\eta :\Gamma \rightarrow L^\times \) est un caractère continu, on en déduit une application de spécialisation \(H^i_\mathrm{Iw}(D) \rightarrow H^i({\mathbf{Q}_p}, V(\eta )) \cong H^i(D(\eta ))\) envoyant un cocycle \(g \mapsto \mu _g\) vers le cocycle \(g \mapsto \int _\Gamma \eta \cdot \mu _g\) (cf. [8, Sect. II.1] pour plus de détails).

12. Si \(p = 2\), il faut appliquer à z le projecteur naturel sur le sous espace d’éléments \(\Gamma '\)-invariants. On évitera ce cas-ci, se traitant de la même manière mais avec une complication technique supplémentaire.

13. On voit ici l’élément \(e_{\omega _D^{-1}}\) comme \(e_{\mathrm {det}_D}^{-1} dT\), de sorte que, si \(\sigma _{-1}(x) \wedge y = f \cdot e_{\mathrm {det}_D}\), alors \((\sigma _{-1}(x) \wedge y) \otimes e_{\omega _D^{-1}} = f dT\).

14. Comme précédemment, \(M' = M^{\Gamma '}\) si \(\gamma ' = \gamma _0\) et \(M' = M\) autrement.

15. Les éléments \(e_\eta \) et \(e_{\eta ^{-1}}\) dénotent des bases des modules \(L(\eta )\) \(L(\eta ^{-1})\), munies d’une action triviale de \(\varphi \) et d’une action de \(\Gamma \) donnée par \(\sigma _a(e_{\eta }) = \eta (a) \cdot e_\eta \), \(\sigma _a(e_{\eta ^{-1}}) = \eta ^{-1}(a) \cdot e_{\eta ^{-1}}\), \(a \in {\mathbf {Z}_p^\times }\). Ces éléments apparaîtront très souvent dans le texte.

16. Rappelons qu’un \((\varphi , \Gamma )\)-module sur \(\mathscr {R}\) de rang 2 est dit triangulin si il est obtenu comme extension de deux \((\varphi , \Gamma )\)-modules de rang 1. D’après [19], tout \((\varphi , \Gamma )\) module de rang 2 sur \(\mathscr {R}\) est étale à torsion près par un caractère ou triangulin. Comme on le verra dans le texte (cf. la preuve du théorème 3.4), le théorème principal de cet article (théorème 2.21) est équivalent au fait que l’isomorphisme proposé par Nakamura interpole l’isomorphisme de de Rham (cf. Conjecture 3.1(5) ainsi que Sect. 3.4); pour le cas d’un \((\varphi , \Gamma )\)-module triangullin, la conjecture, et donc nos résultats, sont connus ([23, Corollay 3.12], [24, Corollary 3.10]) pour n’importe quel \((\varphi , \Gamma )\)-module triangulin, ce qui fait que l’hypothèse de non triangularité ne soit pas vraiment restrictive.

17. On fixe un isomorphisme \(\overline{\mathbf{Q}}_p \cong \mathbf{C}\), de sorte que l’on puisse voir une extension finie L de \({\mathbf{Q}_p}\) comme un sous-corps de \(\mathbf{C}.\)

18. cf. [5, Sect. 23.4] pour la première formule et [5, Sect. 23.5 Th., Lem. 1] pour se ramener au cas du caractère \(\psi \) de niveau zero pour la deuxième.

19. On voit \(e_\eta \) comme un générateur du L espace vectoriel de dimension 1 que l’on munit d’une action de G par la formule \(g \cdot e_\eta = \eta (\mathrm {det}g) \; e_\eta \). On a un isomorphisme d’espaces vectoriels \(v \mapsto c \otimes e_\eta \) de \(\pi \) sur \(\pi \otimes \eta \).

20. Rappelons qu’une représentation lisse irréductible \(\pi \) de \(\mathrm {GL}_2({\mathbf{Q}_p})\) est dite supercuspidale si elle n’est pas une sous-représentation d’une induite parabolique ou, ce qui revient au même ([5, Sect. 9.1 Prop.]), si son module de Jacquet \(V_N := V / V(N)\), où V dénote l’espace ambiant de \(\pi \) et V(N) est le sous espace engendré par les vecteurs de la forme \(v - {{\big ({\begin{matrix}1&{}x\\ 0&{}1\end{matrix}}\big )}} v\), \(x \in {\mathbf{Q}_p}\), est nul.

21. Le niveau \(c(\pi )\) de \(\pi \) est défini comme le plus petit entier n tel que \(\pi \) possède un élément fixe par les matrices de la forme \(K_n = \{ {{\big ({\begin{matrix}a&{}b\\ c&{}d\end{matrix}}\big )}} \in K\), \(c = d - 1 = 0\) mod \(p^n \}\). On a \(\dim _L \pi ^{K_{c(\pi )}} = 1\) et on appelle \(p^{c(\pi )}\) le conducteur de la représentation \(\pi \).

22. \(\mathrm {rc}\) dénote “relativement compact”.

23. Si \(r \in {\mathbf{Q}_p}\) et \(n \in \mathbf{N}\) est tel que \(rp^n \in {\mathbf{Z}_p}\), on pose \([\varepsilon ^{r}] = \varphi ^{-n}((1 + T)^{p^n r}) \in L_n[[t]]\).

24. L’action de \(\Gamma \) sur dt est donnée par \(\sigma _a(dt) = a \, dt\).

25. Dans [12], la formule donnée pour l’action de G est \( {{\big ({\begin{matrix}a&{}b\\ c&{}d\end{matrix}}\big )}} *_k v = (-c \partial + a)^k \cdot ({{\big ({\begin{matrix}a&{}b\\ c&{}d\end{matrix}}\big )} } \cdot v)\). Le changement de signe ci-dessous est justifié par les différentes normalisations entre [12] et ce travail (qui reprend plutôt les normalisations de [10]!) pour la représentation \(\mathrm {Sym}^{k-1}\). Ce changement élimine certaines nuisances des signes.

26. Une représentation de type analytique de G est un espace de type LF (limite inductive d’espaces de Fréchet), muni d’une action continue de H qui s’étend en une action de l’algèbre \(\mathscr {D}(H)\) des distributions sur H.

27. Ce dernier module s’identifiant à via l’identification entre et \(\Delta \otimes \omega _\Delta ^{-1}\).

28. Soit \(\widetilde{\mathbf {E}}_{\mathbf{Q}_p}^+\) le complété de la clôture radicielle de \(\mathbf{F}_p((T))\), \(\widetilde{\mathbf {A}}_{\mathbf{Q}_p}^+ = W(\widetilde{\mathbf {E}}_{\mathbf{Q}_p}^+)\) son anneau des vecteurs de Witt et posons \(\widetilde{\mathscr {O}}^+_\mathscr {E}= \mathscr {O}_L \cdot \widetilde{\mathbf {A}}^+_{\mathbf{Q}_p}\). L’anneau \(\widetilde{\mathbf {E}}_{\mathbf{Q}_p}^+\) est muni naturellement d’actions de \(\varphi \) et \(\Gamma \) commutant entre elles (et coïncidant avec celles sur \(\mathbf{F}_p((T))\) inclus dans le corps résiduel \(k_L((T))\) de \(\mathscr {O}_\mathscr {E}\)), qui s’étendent de manière unique à \(\widetilde{\mathbf {A}}_{\mathbf{Q}_p}^+\) et par \(\mathscr {O}_L\)-linéarité à \(\widetilde{\mathscr {O}}^+_\mathscr {E}\), l’action de \(\varphi \) devenant bijective, et \(\mathscr {O}_\mathscr {E}\) s’identifie naturellement au sous-anneau de \(\widetilde{\mathscr {O}}^+_\mathscr {E}\) engendré topologiquement par \([1 + T] - 1\) (que l’on identifie à \(T \in \mathscr {O}_\mathscr {E}\)) et son inverse. De la même manière que l’on obtient \(\mathscr {R}\) à partir de \(\mathscr {O}^+_\mathscr {E}= \mathscr {O}_L[[T]]\) (\(\mathscr {R}= \cup _{b \ge 1} \cap _{a \ge b} \mathscr {E}^{[r_a, r_b]}\), où \(\mathscr {E}^{[r_a, r_b]} = \mathscr {O}_\mathscr {E}^+[\frac{T^{n_a}}{p}, \frac{p}{T^{n_b}}]^\wedge [1/p]\), où \(n_a = r_a^{-1}, n_b = r_b^{-1}\) et la complétion est prise par rapport à la topologie p-adique, cf. Sect. 1.1 ou bien [10, Sect. I.1.2]), l’on définit l’anneau \(\widetilde{\mathscr {R}}\) à partir de \(\widetilde{\mathscr {O}}^+_\mathscr {E}\). L’intérêt de ces objets réside dans le fait qu’à partir d’eux l’on peut construire des objets où \(\varphi \) dévient inversible. cf. [10, Sect. V.1.1] pour plus de détails et des exemples.

29. Un ensemble X dans un espace vectoriel topologique sur L est borné si pour tout voisinage U de zero il existe \(\alpha \in L\) tel que \(X \subseteq \alpha U\). En particulier, si une suite \((x_n)_{n \in \mathbf{N}}\) est bornée, alors \(p^n x_n \rightarrow 0\) quand \(n \rightarrow +\infty \).

30. Rappelons que \(\tilde{z} \in (\Pi (\Delta )^* \otimes \omega _\Delta )^{{{\big ({\begin{matrix}p&{}0\\ 0&{}1\end{matrix}}\big )}} = \omega _\Delta (p)}\) l’élément correspondant par le lemme 2.12.

31. Rappelons une dernière fois que \(\tilde{z} \in (\Pi (\Delta )^* \otimes \omega _\Delta )^{{{\big ({\begin{matrix}p&{}0\\ 0&{}1\end{matrix}}\big )}} = 1}\) l’élément correspondant à z par le lemme 2.12.

32. Observons que \(\eta \) est vu comme un caractère sur \({\mathbf {Q}_p^\times }\) en posant \(\eta (p) = 1\).

33. Le facteur \((-1)^k\) vient de l’action de w sur le facteur \(\mathrm {det}^{-k}\) du terme de gauche de l’isomorphisme \(\iota _i\).

34. La définition des facteurs epsilon dépend du choix d’un caractère additif ainsi que d’une mesure de Haar sur \({\mathbf{Q}_p}\) que l’on fixe comme dans Sect. 2.2.1. On sait, grâce à la compatibilité locale-globale dans la correspondance de Langlands p-adique [15], que les facteurs locaux des représentations de Weil-Deligne coïncident avec les facteurs locaux des représentations lisses fournies par la théorie du modèle de Kirillov. On pourrait donc définir les isomorphismes \(\varepsilon \) de de Rham en utilisant ces derniers et, dans ce cas-là, la preuve de la conjecture présentée dans ce chapitre ne dépendrait pas de telle compatibilité, et elle serait en conséquence purement locale.

35. Par un petit abus de notation, on note par \(\left\langle \;,\; \right\rangle _\mathrm{dif}\) l’accouplement pour tous le différents tordus de D.

Authors and Affiliations

1. University College of London, London, UK

   Joaquín Rodrigues Jacinto

Corresponding author

Correspondence to Joaquín Rodrigues Jacinto.

Communicated by Toby Gee.

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