L-Funktion einer elliptischen Kurve

Werkzeug der Zahlentheorie

In der Mathematik ist die L-Funktion einer elliptischen Kurve oder Hasse-Weil-Zeta-Funktion ein wichtiges Werkzeug der Zahlentheorie.

Definition

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Sei   eine elliptische Kurve über  . Für eine Primzahl   definieren wir den lokalen Faktor   der L-Reihe in   wie folgt.

Wenn   modulo   gute Reduktion hat, sei   die Anzahl der Punkte in   und  . Wir definieren dann

 .

Weiter definieren wir

 , wenn   modulo   spaltende semistabile Reduktion hat,
 , wenn   modulo   nicht-spaltende semistabile Reduktion hat,
 , wenn   modulo   instabile Reduktion hat.

Die L-Reihe der elliptischen Kurve wird dann als Produkt über die lokalen Faktoren definiert:

 

Aus der von Hasse bewiesenen Ungleichung   folgt Konvergenz und Analytizität von   für  .

Beispiele

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  •  

Die Gleichung beschreibt ein minimales Modell mit Diskriminante  . Die einzige Primzahl schlechter Reduktion ist  , dort ist die Reduktion spaltend semistabil. Also ist

 
 .
  •  

Die Kurve hat instabile Reduktion in   und  , spaltende semistabile Reduktion in   und nicht-spaltende semistabile Reduktion in   und  . Damit ist

 
 .

Dirichlet-Entwicklung

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Die L-Reihe einer elliptischen Kurve hat eine Entwicklung als Dirichlet-Reihe:

 ,

wobei die Fourier-Koeffizienten   wie folgt berechnet werden:

  •  .
  • Für eine Primzahl   ist
    •  , wenn   gute Reduktion in   hat,
    •  , wenn   spaltende semistabile Reduktion in   hat,
    •  , wenn   nicht-spaltende semistabile Reduktion in   hat,
    •  , wenn   instabile Reduktion in   hat.
  • Für eine Primzahlpotenz   ist im Falle guter Reduktion modulo   der Fourier-Koeffizient rekursiv definiert durch  , während im Falle schlechter Reduktion   gilt.
  • Für teilerfremde Zahlen   gilt  .

Funktionalgleichung

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Die L-Reihe einer elliptischen Kurve hat eine analytische Fortsetzung auf die gesamte komplexe Zahlenebene und erfüllt mit

 

für den Führer   und die Gamma-Funktion   eine Funktionalgleichung

 

mit  . Diese von Hasse und Weil aufgestellte Vermutung folgt aus dem Modularitätssatz. Aus der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer würde   folgen.

Literatur

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  • A. Lozano-Robledo: Elliptic curves, modular forms, and their L-functions. Student Mathematical Library 58. American Mathematical Society (AMS), Providence, RI 2011, ISBN 978-0-8218-5242-2/pbk.